Dobro došli na novi tjedan tečaja!
Za početak promotrimo primjer zadatka koji se može riješiti principom ekstrema - temom kojom ćemo se baviti ovaj tjedan.
Primjer 1.
Na zabavi se nalazi 
ljudi. U nekom su se trenutku osobe počele rukovati. Dokaži da postoje dvije osobe koje su se rukovale s istim brojem ljudi.
Ideja rješenja.
Rješavamo zadatak kontradikcijom. Ono što je tipično za rješavanje zadatka metodom kontradikcije je promatranje određenog svojstva koje može biti maksimalno ili minimalno. Iz zadatka se da iščitati da je svojstvo koje se promatra broj ljudi s kojima se osoba rukovala. Sukladno tome, promatramo osobu koja se rukovala s najmanje i osobu koja se rukovala s najviše ljudi.
Rješenje.
Provest ćemo dokaz kontradikcijom. Prvo pretpostavimo suprotno od onoga što trebamo dokazati. U ovom slučaju dakle pretpostavimo da ne postoje dvije osobe koje su se rukovale s istim brojem ljudi. Neka je 
broj ljudi s kojima se neka osoba rukovala. Budući da se osoba ne može rukovati sama sa sobom, može se rukovati s najviše 
ljudi, a najmanje s 
. Dakle, 
, odnosno poprima jednu od mogućih vrijednosti. Prema pretpostavci, ne postoje dvije osobe koje su se rukovale s istim brojem ljudi. Posljedično, za svaki broj od do postoji osoba koja se rukovala s tim brojem ljudi. Promotrimo sada ekstremne slučajeve. To znači da postoji osoba koja se rukovala s ljudi, tj. nije se rukovala ni sa kim te postoji osoba koja se rukovala s ljudi, tj. sa svim ljudima na zabavi osim sa sobom. Međutim, dolazimo do kontradikcije jer se osoba koja se rukovala sa svima nije mogla rukovati s osobom koja se nije rukovala ni sa kim. Dakle, pretpostavka je neistinita zbog čega vrijedi da postoje dvije osobe koje su se rukovale s istim brojem ljudi.
Ideja rješavanja zadataka pomoću principa ekstrema promatranje je ekstremnih vrijednosti, odnosno vrijednosti koje su s obzirom na određeno svojstvo minimalne ili maksimalne (najveće, najmanje, najbliže, najudaljenije…) Zatim promatramo određena svojstva ekstremnih vrijednosti i iz toga izvlačimo neke zaključke koji nam mogu biti korisni u rješavanju zadatka.
Česta metoda rješavanja zadataka principom ekstrema je metoda kontradikcije koju smo koristili u prethodnom primjeru. Na početku pretpostavimo suprotno od tvrdnje koju želimo dokazati, zatim promatramo ekstremne vrijednosti, a potom promatramo određena svojstva ekstremnih vrijednosti preko kojih dolazimo do kontradikcije. Često je kontradikcija do koje se dođe ta da postoji element „ekstremniji“ od ekstremnog. Na primjer, ako pretpostavimo da je 
najveći element određenog skupa i dokažemo da mora postojati element veći od došli smo do kontradikcije. Stoga je pretpostavka pogrešna iz čega slijedi željena tvrdnja.
Za nastavak kao rješenje upišite "kontradikcija"
Dobro došli na novi tjedan tečaja!
Za početak promotrimo primjer zadatka koji se može riješiti principom ekstrema - temom kojom ćemo se baviti ovaj tjedan.
\textbf{Primjer 1.}\\
Na zabavi se nalazi $10000$ ljudi. U nekom su se trenutku osobe počele rukovati. Dokaži da postoje dvije osobe koje su se rukovale s istim brojem ljudi.
\textbf{Ideja rješenja.}\\
Rješavamo zadatak kontradikcijom. Ono što je tipično za rješavanje zadatka metodom kontradikcije je promatranje određenog svojstva koje može biti maksimalno ili minimalno. Iz zadatka se da iščitati da je svojstvo koje se promatra broj ljudi s kojima se osoba rukovala. Sukladno tome, promatramo osobu koja se rukovala s najmanje i osobu koja se rukovala s najviše ljudi.
\textbf{Rješenje. }\\
Provest ćemo dokaz kontradikcijom. Prvo pretpostavimo suprotno od onoga što trebamo dokazati. U ovom slučaju dakle pretpostavimo da ne postoje dvije osobe koje su se rukovale s istim brojem ljudi. Neka je $n$ broj ljudi s kojima se neka osoba rukovala. Budući da se osoba ne može rukovati sama sa sobom, može se rukovati s najviše $9999$ ljudi, a najmanje s $0$. Dakle, $n \in \{0, 1, 2, …, 9999\}$, odnosno $n$ poprima jednu od $10000$ mogućih vrijednosti. Prema pretpostavci, ne postoje dvije osobe koje su se rukovale s istim brojem ljudi. Posljedično, za svaki broj od $0$ do $9999$ postoji osoba koja se rukovala s tim brojem ljudi. Promotrimo sada ekstremne slučajeve. To znači da postoji osoba koja se rukovala s $0$ ljudi, tj. nije se rukovala ni sa kim te postoji osoba koja se rukovala s $9999$ ljudi, tj. sa svim ljudima na zabavi osim sa sobom. Međutim, dolazimo do kontradikcije jer se osoba koja se rukovala sa svima nije mogla rukovati s osobom koja se nije rukovala ni sa kim. Dakle, pretpostavka je neistinita zbog čega vrijedi da postoje dvije osobe koje su se rukovale s istim brojem ljudi.
Ideja rješavanja zadataka pomoću principa ekstrema promatranje je \textbf{ekstremnih vrijednosti}, odnosno vrijednosti koje su s obzirom na određeno svojstvo minimalne ili maksimalne (najveće, najmanje, najbliže, najudaljenije…) Zatim promatramo određena svojstva ekstremnih vrijednosti i iz toga izvlačimo neke zaključke koji nam mogu biti korisni u rješavanju zadatka.
Česta metoda rješavanja zadataka principom ekstrema je metoda kontradikcije koju smo koristili u prethodnom primjeru. Na početku pretpostavimo suprotno od tvrdnje koju želimo dokazati, zatim promatramo ekstremne vrijednosti, a potom promatramo određena svojstva ekstremnih vrijednosti preko kojih dolazimo do kontradikcije. Često je kontradikcija do koje se dođe ta da postoji element „ekstremniji“ od ekstremnog. Na primjer, ako pretpostavimo da je $x$ najveći element određenog skupa i dokažemo da mora postojati element veći od $x$ došli smo do kontradikcije. Stoga je pretpostavka pogrešna iz čega slijedi željena tvrdnja.
Za nastavak kao rješenje upišite "kontradikcija"
