Princip ekstrema najčešće koristimo u kombinatorici iako ne mora uvijek biti tako. Sljedeći primjer pokazuje kako princip ekstrema možemo koristiti u raznim granama matematike, između ostalog u teoriji brojeva.
Primjer 2.
Dokaži da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva.
Ideja rješenja.
Pretpostavimo suprotno i dokažemo da postoji prost broj veći od najvećeg, što je kontradikcija.
Rješenje.
Pretpostavimo suprotno, da ima konačno mnogo prostih brojeva. Neka je 
broj prostih brojeva. Neka su tada 
svi prosti brojevi. Promotrimo broj 
. Uočimo da 
nije djeljiv ni sa 
, ni sa 
, ..., ni sa 
. Dakle, svaki prosti faktor 
od različit je od 
. Budući da je ili prost ili ima prosti faktor, dobili smo da je prost broj različit od 
, što je kontradikcija, jer tada postoji barem 
prostih brojeva. Dakle, prostih brojeva ima beskonačno mnogo.
Za nastavak kao rješenje upišite "prosti".
Princip ekstrema najčešće koristimo u kombinatorici iako ne mora uvijek biti tako. Sljedeći primjer pokazuje kako princip ekstrema možemo koristiti u raznim granama matematike, između ostalog u teoriji brojeva.
\textbf{Primjer 2.}\\
Dokaži da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva.
\textbf{Ideja rješenja.}\\
Pretpostavimo suprotno i dokažemo da postoji prost broj veći od najvećeg, što je kontradikcija.
\textbf{Rješenje.}\\
Pretpostavimo suprotno, da ima konačno mnogo prostih brojeva. Neka je $k$ broj prostih brojeva. Neka su tada $p_1, p_2, \dots, p_k$ svi prosti brojevi. Promotrimo broj
$n = 1 + p_1p_2\dots p_k$.
Uočimo da $n$ nije djeljiv ni sa $p_1$, ni sa $p_2$, ..., ni sa $p_k$. Dakle, svaki prosti faktor $p$ od $n$ različit je od $p_1, \dots, p_k$. Budući da je $n$ ili prost ili ima prosti faktor, dobili smo da je $p$ prost broj različit od $p_1, \dots , p_k$, što je kontradikcija, jer tada postoji barem $k+1$ prostih brojeva. Dakle, prostih brojeva ima beskonačno mnogo.
Za nastavak kao rješenje upišite "prosti".
