MetaMath '25

Sljedeći primjer pokazuje da princip ekstrema može biti koristan i u rješavanju algebarskih zadataka. \textbf{Primjer 3.}\\ Pronađi sve prirodne brojeve $x, y, z$ i $w$ koji zadovoljavaju jednadžbu \[ x^2 + y^2 = 3(z^2 + w^2). \] \textbf{Ideja rješenja.}\\ Promatramo minimalnu vrijednost od $x^2 + y^2 + z^2 + w^2$ (nije nužno da promatramo točno ovu vrijednost, ali je najjednostavnija za uredno zapisivanje rješenja). \textbf{Rješenje.}\\ Nakon što uvrštavanjem raznih vrijednosti ne uspijemo naći $x, y, z, w \in \mathbb{N}$ koji zadovoljavaju jednadžbu, slutimo da jednadžba nema rješenja. Pretpostavimo suprotno, da jednadžba ima barem jedno rješenje. Od svih rješenja, promotrimo one $x$, $y$, $z$ i $w$ za koje je izraz $x^2 + y^2 + z^2 + w^2$ najmanji. Kako je desna strana jednadžbe djeljiva s $3$, mora biti i lijeva. Dakle, izraz $x^2 + y^2$ je djeljiv s $3$. Poznato je da potpuni kvadrati daju ostatke $0$ i $1$ pri dijeljenju s $3$. Budući da promatrani zbroj kvadrata daje ostatak $0$ pri dijeljenju s $3$, mora vrijediti da su $x^2$ i $y^2$ djeljivi s $3$, pa su $x$ i $y$ djeljivi s $3$. Sada znamo da postoje $x_0, y_0 \in \mathbb{N}$ takvi da $x = 3x_0$ i $y = 3y_0$, pa jednadžba postaje \[ (3x_0)^2 + (3y_0)^2 = 3(z^2 + w^2) \iff z^2 + w^2 = 3x_0^2 + 3y_0^2. \] Primijetimo da to znači da su brojevi $z, w, x_0$ i $y_0$ također rješenja početne jednadžbe. Kako su $x_0$ i $y_0$ trećine od $x$ i $y$ redom, znamo da vrijedi $x_0 < x$ i $y_0 < y$. Stoga \[ x_0^2 + y_0^2 + z^2 + w^2 < x^2 + y^2 + z^2 + w^2, \] pa $x, y, z$ i $w$ ne mogu biti takvi da je $x^2 + y^2 + z^2 + w^2$ najmanji. To se protivi našoj pretpostavci, pa smo došli do kontradikcije. Za nastavak kao rješenje upišite "minimalni".