Za kraj pokažimo kako princip ekstrema može biti koristan i u zadatcima iz područja kombinatorne geometrije. Često je dobra taktika da promatramo najkraću dužinu, trokut najveće površine, najmanju udaljenost između dviju točaka i slične geometrijske vrijednosti.
Primjer 4.
U ravnini se nalazi konačno mnogo crvenih i plavih točaka. Na svakoj dužini čiji su krajevi crvene točke postoji plava točka, a na svakoj dužini čiji su krajevi plave točke postoji crvena točka. Dokaži da sve točke leže na istom pravcu.
Ideja rješenja.
Pretpostavimo suprotno i promatramo trokut najmanje površine.
Rješenje.
Pretpostavimo suprotno, da nisu sve točke na istom pravcu. To znači da postoje neke tri točke koje predstavljaju vrhove trokuta. Među svim trokutima, kojih ima konačno mnogo jer točaka ima konačno mnogo, odaberemo onaj najmanje površine. Budući da trokut ima 
vrha, barem 
vrha su iste boje (recimo plave i nazovimo ih 
i 
, a preostalu točku 
). Tada na stranici 
postoji crvena točka 
. Promotrimo trokut 
. On očito ima površinu manju od površine trokuta 
jer trokuti imaju jednake duljine visina, a različite duljine stranica. To je kontradikcija jer je prema pretpostavci trokut najmanje površine. Dakle, ne postoje tri točke koje čine trokut pa sve točke leže na istom pravcu.
S principom ekstrema već ste se susreli u toku tečaja bez da ste možda i znali da ga koristite, stoga ćete među zadacima možda prepoznati i nekoliko njih iz proteklih tjedana.
Za nastavak kao rješenje upišite "ekstremno".
Za kraj pokažimo kako princip ekstrema može biti koristan i u zadatcima iz područja kombinatorne geometrije. Često je dobra taktika da promatramo najkraću dužinu, trokut najveće površine, najmanju udaljenost između dviju točaka i slične geometrijske vrijednosti.
\textbf{Primjer 4.}\\
U ravnini se nalazi konačno mnogo crvenih i plavih točaka. Na svakoj dužini čiji su krajevi crvene točke postoji plava točka, a na svakoj dužini čiji su krajevi plave točke postoji crvena točka. Dokaži da sve točke leže na istom pravcu.
\textbf{Ideja rješenja.}\\
Pretpostavimo suprotno i promatramo trokut najmanje površine.
\textbf{Rješenje.}\\
Pretpostavimo suprotno, da nisu sve točke na istom pravcu. To znači da postoje neke tri točke koje predstavljaju vrhove trokuta. Među svim trokutima, kojih ima konačno mnogo jer točaka ima konačno mnogo, odaberemo onaj najmanje površine. Budući da trokut ima $3$ vrha, barem $2$ vrha su iste boje (recimo plave i nazovimo ih $A$ i $B$, a preostalu točku $C$). Tada na stranici $\overline{AB}$ postoji crvena točka $D$. Promotrimo trokut $\triangle ADC$. On očito ima površinu manju od površine trokuta $\triangle ABC$ jer trokuti imaju jednake duljine visina, a različite duljine stranica. To je kontradikcija jer je prema pretpostavci $\triangle ABC$ trokut najmanje površine. Dakle, ne postoje tri točke koje čine trokut pa sve točke leže na istom pravcu.
\includegraphics{Primjer4.png}
S principom ekstrema već ste se susreli u toku tečaja bez da ste možda i znali da ga koristite, stoga ćete među zadacima možda prepoznati i nekoliko njih iz proteklih tjedana.
Za nastavak kao rješenje upišite "ekstremno".
