Bok ljudi! Dobrodošli na osmi tjedan MetaMath tečaja! Ovaj ćemo se tjedan baviti jednom od najjačih tehnika koje postoje u geometriji - fantomiranje!
U ovom tjednu obrađujemo metodu fantomiranja u geometriji. Ova metoda se najčešće koristi pri dokazivanju nekog nepoznatog svojstva za točku 
koja je jednoznačno određena određenim skupom poznatih svojstava. Postupak podrazumijeva definiranje nove, tzv. fantomske, točke 
koja zadovoljava svojstvo koje želimo dokazati za točku , a uz to zadovoljava i neka od poznatih svojstava (obično sva osim jednog). Ako za uspijemo dokazati i preostala poznata svojstva, onda smo dobili točku koja zadovoljava sva poznata svojstva, pa ta točka mora biti upravo , jer je točka jednoznačno određena tim svojstvima. Dakle, vrijedi 
. No, kako znamo da zadovoljava nepoznato svojstvo, ovime smo dokazali da točka zadovoljava to svojstvo, što smo i htjeli dobiti od početka.
Evo za početak jedan primjer fantomiranja u akciji.
Primjer 1
Dan je trokut 
. Simetrala kuta 
i simetrala stranice 
sijeku se u . Dokaži da opisana kružnica trokuta prolazi kroz .
Ideja rješenja
Sjecište simetrale kuta i simetrale dužine 
je random. Odnosno, ne pada nam odmah na pamet kako možemo povezati te dvije stvari (ne možemo baš izvesti neki jednostavan angle chase bez dodavanja apstraktnih točaka, length chase isto ne izgleda obečavajuće). Dakle, želimo promjenu naših startnih uvjeta - fantomiramo.
Rješenje
Dakle, kao takav nam ne daje puno informacija s kojima možemo nešto odmah raditi. Definirajmo zato točku koja će biti sjecište simetrale kuta i opisane kružnice trokuta . Budući da nam je definiran kao sjecište simetrale kuta i simetrale stranice , ako pokažemo da simetrala stranice prolazi kroz , onda će morati vrijediti da je 
(jer smo pokazali da kroz točku prolaze dva pravca koja definiraju ). Pokušajmo to učiniti.
Budući da vrijedi 
te da je 
tetivan četverokut, vrijedi: 
Odnosno imamo da je 
jednakokračan trokut.
Kako je simetrala dužine okomica koja prolazi kroz polovište od te kako je 
jednakokračan trokut, možemo zaključiti da simetrala dužine prolazi kroz . Međutim, kroz prolazi i simetrala kuta , dakle 
(jer je definiran kao sjecište simetrale kuta 
i simetrale dužine ).
Znamo da opisana kruznica prolazi kroz i da , zaključujemo da opisana kružnica prolazi kroz .
Iako se tehnika fantomiranja možda ne čini pretjerano impresivna na prvu, ima nekoliko prekrasnih i jako korisnih svojstava: 
Kada (ne) koristiti fantomiranje?
Fantomiranje je posebno korisno u zadacima gdje: 
S druge strane, fantomiranje može biti suvišno ili čak kontraproduktivno u zadacima gdje: 
Oprez!
Fantomiranje nije nikakva ,,magična” tehnika — često ste je već koristili iako možda niste znali da se tako zove. Riječ je o prirodnom geometrijskom razmišljanju: ako bi neka točka postojala, konstrukcija bi bila jasnija i dokaz lakši. Ovdje to samo imenujemo i svjesno primjenjujemo.
Napomena
Ako se zadatak jako lagano rješava koristeći fantomiranje, onda se uglavnom lagano rješava i bez fantomiranja. Kad budete rješavali lagani lanac (i dio srednjeg), iako nije teško pronaći rješenje bez fantomiranja, molim vas, koristiti fantomiranje. Naime, jednom kada dođete do težih zadataka, fantomiranje će postati otprilike neizbježno.
Kao odgovor na ovo pitanje upišite 'Taylor'
Bok ljudi! Dobrodošli na osmi tjedan MetaMath tečaja! Ovaj ćemo se tjedan baviti jednom od najjačih tehnika koje postoje u geometriji - fantomiranje!
U ovom tjednu obrađujemo metodu \textit{fantomiranja} u geometriji. Ova metoda se najčešće koristi pri dokazivanju nekog \textbf{nepoznatog} svojstva za točku $T$ koja je \textbf{jednoznačno} određena određenim skupom \textbf{poznatih} svojstava. Postupak podrazumijeva definiranje nove, tzv.~\textit{fantomske}, točke $T'$ koja zadovoljava svojstvo koje želimo dokazati za točku $T$, a uz to zadovoljava i neka od poznatih svojstava (obično sva osim jednog). Ako za $T'$ uspijemo dokazati i preostala poznata svojstva, onda smo dobili točku koja zadovoljava sva poznata svojstva, pa ta točka mora biti upravo $T$, jer je točka $T$ jednoznačno određena tim svojstvima. Dakle, vrijedi $T' = T$. No, kako znamo da $T'$ zadovoljava nepoznato svojstvo, ovime smo dokazali da točka $T$ zadovoljava to svojstvo, što smo i htjeli dobiti od početka.
Evo za početak jedan primjer fantomiranja u akciji.
\textbf{Primjer 1}
Dan je trokut $ABC$. Simetrala kuta $\angle{ABC}$ i simetrala stranice $\overline{AC}$ sijeku se u $T$. Dokaži da opisana kružnica trokuta $ABC$ prolazi kroz $T$.
\textbf{Ideja rješenja}
Sjecište simetrale kuta $\angle{ABC}$ i simetrale dužine $AC$ je \textit{random}. Odnosno, ne pada nam odmah na pamet kako možemo povezati te dvije stvari (ne možemo baš izvesti neki jednostavan angle chase bez dodavanja apstraktnih točaka, length chase isto ne izgleda obečavajuće). Dakle, želimo promjenu naših startnih uvjeta - fantomiramo.
\textbf{Rješenje}
Dakle, $T$ kao takav nam ne daje puno informacija s kojima možemo nešto odmah raditi. Definirajmo zato točku $T'$ koja će biti sjecište simetrale kuta $\angle{ABC}$ i opisane kružnice trokuta $ABC$. Budući da nam je $T$ definiran kao sjecište simetrale kuta $\angle{ABC}$ i simetrale stranice $AC$, ako pokažemo da simetrala stranice $AC$ prolazi kroz $T'$, onda će morati vrijediti da je $T=T'$ (jer smo pokazali da kroz točku $T'$ prolaze dva pravca koja definiraju $T$). Pokušajmo to učiniti.
\includegraphics{pr1_T.png}
\includegraphics{pr1_T'.png}
Budući da vrijedi $\angle{ABT'=\angle{T'BC}}$ te da je $ABCT'$ tetivan četverokut, vrijedi:
\[
\angle{CAT'}=\angle{T'BC}=\angle{T'BA}=\angle{ACT'}
\]
Odnosno imamo da je $ACT'$ jednakokračan trokut.
Kako je simetrala dužine $AC$ okomica koja prolazi kroz polovište od $AC$ te kako je $AT'C$ jednakokračan trokut, možemo zaključiti da simetrala dužine $AC$ prolazi kroz $T'$. Međutim, kroz $T'$ prolazi i simetrala kuta $\angle{ABC}$, dakle $T'=T$ (jer je $T$ definiran kao sjecište simetrale kuta $\angle ABC$ i simetrale dužine $AC$).
Znamo da opisana kruznica $ABC$ prolazi kroz $T'$ i da $T'=T$, zaključujemo da opisana kružnica $ABC$ prolazi kroz $T$.
Iako se tehnika fantomiranja možda ne čini pretjerano impresivna na prvu, ima nekoliko prekrasnih i jako korisnih svojstava:
\begin{itemize}
\item zadatci koji od nas traže dokaz da su neke tri točke kolinearne / neke četiri točke konciklične može postati problem vezan isključivo za angle chase i length chase
\item ako nam ne pada na pamet kako iskoristiti svojstvo neke točke koja nam je zadana, možemo uzeti drugo svojstvo te točke i dokazati početno.
\end{itemize}
\textbf{Kada (ne) koristiti fantomiranje?}
Fantomiranje je posebno korisno u zadacima gdje:
\begin{itemize}
\item Konstrukcija djeluje “nedovršeno” –- kao da fali još jedna kružnica, presjek, simetrija.
\item Pojavljuju se simetrije koje se mogu pojačati dodatnom konstrukcijom.
\item Poznate metode (npr.~potencija točke, homotetija) se ne mogu primijeniti bez dodatne točke.
\item Ne moramo fantomirati samo točke, možemo fantomirati i pravce i kružnice (iako se ovaj slučaj ne pojavljuje u primjerima, pojavljuje se u jednom zadatku u laganom lancu, bit će vam jasno o kojem je zadatku riječ).
\end{itemize}
S druge strane, fantomiranje može biti suvišno ili čak kontraproduktivno u zadacima gdje:
\begin{itemize}
\item se zadatak može elegantno riješiti klasičnim metodama kao što su angle chase, length chase, trigonometrija ili inverzija.
\item više “fantomskih” točaka zbunjuje, a ne pojednostavljuje. Međutim, postoje slučajevi gdje je to baš jako lijepo funkcionira. Ubiti, pokušaj da imaš maks dvije točke izfantomirane.
\end{itemize}
\textbf{Oprez!}
Fantomiranje nije nikakva ,,magična” tehnika — često ste je već koristili iako možda niste znali da se tako zove. Riječ je o prirodnom geometrijskom razmišljanju: ako bi neka točka postojala, konstrukcija bi bila jasnija i dokaz lakši. Ovdje to samo imenujemo i svjesno primjenjujemo.
\textbf{Napomena}
Ako se zadatak \textbf{jako} lagano rješava koristeći fantomiranje, onda se uglavnom lagano rješava i bez fantomiranja. Kad budete rješavali lagani lanac (i dio srednjeg), iako nije teško pronaći rješenje bez fantomiranja, molim vas, koristiti fantomiranje. Naime, jednom kada dođete do težih zadataka, fantomiranje će postati otprilike neizbježno.
Kao odgovor na ovo pitanje upišite 'Taylor'
