MetaMath '25

\textbf{Primjer} Neka je $ABC$ trokut sa središtem opisane kružnice u $O$ te neka je $K$ točka takva da je $KA$ tangenta na opisanu kružnicu trokuta $ACB$ i da vrijedi $\angle KCB=90^\circ$. Točka $D$ leži na $\overline{BC}$ tako da $\overline{KD} \parallel \overline{AB}$. Pokaži da pravac $\overline{DO}$ prolazi kroz $A$. \textbf{Ideja rješenja} Paralelnost $DK$ i $AB$ nam isprva ne daje neke previše interesantne informacije o stvarima koje se događaju s pravcem $AO$ (nemamo neki trivijalan razlog zašto bi način na koji je $D$ definiran upučivao na činjenicu da su $A-O-D$ kolinearni). Nadalje, uvijek je ljepše iskustvo dokazivati da su dva kuta jednaka, nego dokazivati kolinearnost neke tri točke. Ove dvije činjenice zajedno nas motiviraju da iskoristimo fantomiranje. \textbf{Rješenje} Točka $D$ je \textit{smotano} definirana, ne znamo što bismo učinili s njom (u kontekstu dokazivanja kolinearnosti $A-O-D$). Prema tome, izvodimo sljedeće fantomiranje. Neka je $D'$ sjecište pravca $AO$ s pravcem $BC$. Budući da je $D$ definiran kao sjecište pravca $BC$ i pravca kroz $K$ koji je paralelan s $AB$, ako bismo dokazali da je $AB \parallel D'K$, onda bismo imali $D=D'$. Učinimo to. \includegraphics{pr2_P.png} \includegraphics{pr2_P'.png} Primijetimo da $\angle D'AK=90^\circ$ (jer je $AK$ tangenta na opisanu kružnicu $ABC$) te $D'CK=90^\circ$ po definiciji. Budući da $\angle D'AK+\angle D'CK=90^\circ + 90^\circ=180^\circ$, imamo da je četverokut $AD'CK$ tetivan. Sada imamo: \[ \angle AKD'\overset{\text{tetivnost AD'CK}}{=}\angle ACD'=\frac{\angle AOB}{2}=90^\circ-\angle BAO=180^\circ - \angle BAK \] što dokazuje paralelnost $AB \parallel KD'$. Budući da su $A-O-D'$ kolinearni i vrijedi $D=D'$, zaključujemo da su $A-O-D$ kolinearni, a to smo trebali i dokazati. Kao odgovor na ovo pitanje upišite 'Swift'