Primjer
Neka 
bude trokut i neka 
bude bilo koja točka na segmentu 
. Označimo redom 
i 
središta opisanih kružnica trokuta 
i 
. Neka 
bude kružnica čije središte leži na pravcu i prolazi kroz točke 
i . Pravaci 
i 
redom sijeku u 
i 
. Neka je sjecište 
i 
točka 
. Dokaži da prolazi kroz .
Ideja rješenja
Ponovno, nije nam baš dano puno informacija s kojima možemo napravit otvaranje (angle chase / length chase). Međutim, nije baš ni sasvim jasno što bismo mogli fantomirati. Uzevši sve to u obzir, možemo pretpostaviti da točka skriva više informacija nego što se na prvu čini.
Rješenje
Glavni dio rješenja ovog zadataka je zapravo otkriti što je ta točka i koja svojstva ona ima. Upravo zbog ovakvih zadataka nužno je crtati dobre skice u geometriji. Nacrtavši sliku, moguće je naslutiti da je točka zapravo preslika točke preko pravca (i to će se pokazati istinitim).
Doista, ako bismo preslikali točku preko , ta točka bi ležala na kružnici jer se središte kružnice nalazi na pravcu . Prema tome, naša slutnja da je zapravo preslika točke preko počinje imati još više smisla.
Dobro, sada kada već imamo dobar osječaj oko naših slutnji, definirajmo 
kao presliku točke preko . Ako bismo pokazali da su 
i 
redom kolinearni, dobili bismo da je 
, a samim time i činjenicu da prolazi kroz . Dakle, dokažimo to.
Za početak, pokazat ćemo da 
što će dokazati da je kolinearan. Primijetimo da 
Odnosno imamo da su kolinearni.
Sada, sličnim angle chaseom možemo dobiti da su i isto kolinearni (uvjerite se u ovo). Dakle, konačno možemo zaključiti da , odnosno, kako prolazi kroz i 
, imamo da prolazi kroz , a to smo htjeli pokazati.
Kao odgovor na ovo pitanje upišite 'Rodrigo'
\textbf{Primjer}
Neka $ABC$ bude trokut i neka $M$ bude bilo koja točka na segmentu $BC$. Označimo redom $O_B$ i $O_C$ središta opisanih kružnica trokuta $ABM$ i $ACM$. Neka $\omega$ bude kružnica čije središte leži na pravcu $BC$ i prolazi kroz točke $A$ i $M$. Pravaci $MO_B$ i $MO_c$ redom sijeku $\omega$ u $K$ i $L$. Neka je sjecište $BK$ i $CL$ točka $P$. Dokaži da $\omega$ prolazi kroz $P$.
\textbf{Ideja rješenja}
Ponovno, nije nam baš dano puno informacija s kojima možemo napravit otvaranje (angle chase / length chase). Međutim, nije baš ni sasvim jasno što bismo mogli fantomirati. Uzevši sve to u obzir, možemo pretpostaviti da točka $P$ skriva više informacija nego što se na prvu čini.
\textbf{Rješenje}
Glavni dio rješenja ovog zadataka je zapravo otkriti što je ta točka $P$ i koja svojstva ona ima. Upravo zbog ovakvih zadataka \textbf{nužno} je crtati dobre skice u geometriji. Nacrtavši sliku, moguće je naslutiti da je točka $P$ zapravo preslika točke $A$ preko pravca $BC$ (i to će se pokazati istinitim).
Doista, ako bismo preslikali točku $A$ preko $BC$, ta točka bi ležala na kružnici $\omega$ jer se središte kružnice $\omega$ nalazi na pravcu $BC$. Prema tome, naša slutnja da je $P$ zapravo preslika točke $A$ preko $BC$ počinje imati još više smisla.
\includegraphics{pr5_P.png}
\includegraphics{pr5_P'.png}
Dobro, sada kada već imamo dobar osječaj oko naših slutnji, definirajmo $P'$ kao presliku točke $A$ preko $BC$. Ako bismo pokazali da su $K-B-P'$ i $L-P'-C$ redom kolinearni, dobili bismo da je $P=P'$, a samim time i činjenicu da $\omega$ prolazi kroz $P$. Dakle, dokažimo to.
Za početak, pokazat ćemo da $\angle{BP'A=\angle{KP'A}}$ što će dokazati da je $K-B-P'$ kolinearan. Primijetimo da
\[
\angle KP'A\overset{\text{tetivnost KAMP'}}{=}\angle KMA=\angle O_BMA=\frac{180^\circ - \angle AO_BM}{2}=90^\circ - \angle ABM
\]
\[
=90^\circ - \angle MBP'= \angle BP'A
\]
Odnosno imamo da su $K-B-P'$ kolinearni.
Sada, sličnim angle chaseom možemo dobiti da su i $L-P'-C$ isto kolinearni (uvjerite se u ovo). Dakle, konačno možemo zaključiti da $P=P'$, odnosno, kako $\omega$ prolazi kroz $P'$ i $P'=P$, imamo da $\omega$ prolazi kroz $P$, a to smo htjeli pokazati.
Kao odgovor na ovo pitanje upišite 'Rodrigo'
