Točno
16. travnja 2012. 07:49 (12 godine, 3 mjeseci)
Neka je
![n \in \mathbb{N}](/media/m/2/b/a/2ba27c6141ca415bb86bae1d237f1fac.png)
te
![a_{1}](/media/m/0/6/5/0653090dabb5d1972cd7a7dfcd31abc1.png)
,
![a_{2}](/media/m/5/5/6/5565dac5c7f1dadb0e60c273c1d11c80.png)
, ...,
![a_{n}](/media/m/e/1/b/e1bf963ddae5d084fba54d8a7aa04acc.png)
pozitivni realni brojevi za koje vrijedi
![a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = \frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + \cdots + \frac{1}{a_{n}^{2}} \text{.}](/media/m/a/2/f/a2f362a6995782a1e4f1fb1087199acb.png)
Dokaži da za svaki
![m \in \left\{1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}](/media/m/c/7/5/c75ae55f901a3c91e774ee43e5c73c0e.png)
postoji
![m](/media/m/1/3/6/1361d4850444c055a8a322281f279b39.png)
brojeva iz skupa
![\left\{a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n}\right\}](/media/m/c/d/6/cd6b6f29d2f8adcb20af886c05c7aa36.png)
čiji je zbroj barem
![m](/media/m/1/3/6/1361d4850444c055a8a322281f279b39.png)
.
%V0
Neka je $n \in \mathbb{N}$ te $a_{1}$, $a_{2}$, ..., $a_{n}$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $$ a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = \frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + \cdots + \frac{1}{a_{n}^{2}} \text{.} $$
Dokaži da za svaki $m \in \left\{1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}$ postoji $m$ brojeva iz skupa $\left\{a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n}\right\}$ čiji je zbroj barem $m$.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Prvo ćemo dokazati da je
![a_1+ \cdots + a_n \geqslant n](/media/m/e/2/8/e28e2669fd69991d10a59951961089bd.png)
, a zatim ostatak zadatka dokazati indukcijom.
Pretpostavimo da je
![a_1 + \cdots + a_n \leqslant n \newline \Leftrightarrow \frac{a_1+ \cdots + a_n}{n} \leqslant 1\newline \Leftrightarrow \frac{\frac{1}{a_1^2}+ \cdots + \frac{1}{a_n^2}}{n} \leqslant 1](/media/m/c/9/5/c952f9e0b614454a0dc81218c0e260f1.png)
Iz A-G nejednakosti i prvog izraza dobivamo dobivamo
![a_1a_2 \cdots a_n \leqslant 1](/media/m/d/d/3/dd34e0cc711ef8fd9c5889dd32ad2e21.png)
a iz drugog izraza
![\frac{1}{a_1^2a_2^2 \cdots a_n^2} \leqslant 1\newline\Leftrightarrow a_1a_2 \cdots a_n \geqslant 1](/media/m/a/3/5/a35dac7a9238fabcf2aaed68e06fa6a4.png)
što je kontradikcija.
Dakle mora vrjediti
![a_1 + \cdots + a_n \geqslant n](/media/m/0/7/6/07600a3e964b81647dc1852c431879fe.png)
Označimo najmanji broj skupa s
![a_{min}](/media/m/1/4/c/14c9a7b70c26fef536256e83f03b021b.png)
Pretpostavimo da je
![a_1 + \cdots + a_n - a_{min} < n-1\Rightarrow a_{min} \geqslant 1](/media/m/d/4/0/d4068d1ee9dca513c4271da3396a2250.png)
, ali i
![\frac{a_1 + \cdots + a_n - a_{min}}{n-1} < 1](/media/m/5/d/3/5d3246f5b56c8e4d1a7f6bc255f59697.png)
, kako aritmetička sredina nikad nije manja od svih svojih članova, znamo da postoji
![i](/media/m/3/2/d/32d270270062c6863fe475c6a99da9fc.png)
takav da
![a_i < 1](/media/m/6/c/a/6ca0e2f745a24817b18e39deaffcfcf0.png)
ali istovremeno i
![a_i \geqslant a_{min}](/media/m/b/f/e/bfe7e167ace9281313eef7216e34d4c1.png)
što je kontradikcija s
![a_{min} \geqslant 1](/media/m/d/5/5/d552bb3941f7b21a8c74b909cbc94a5e.png)
.
Dakle tvrdnja vrijedi za svaki
![m \leqslant n](/media/m/6/f/4/6f4b732213e0f1efa5244524f7612c3a.png)
.
%V0
Prvo ćemo dokazati da je $a_1+ \cdots + a_n \geqslant n$, a zatim ostatak zadatka dokazati indukcijom.
Pretpostavimo da je
$a_1 + \cdots + a_n \leqslant n \newline \Leftrightarrow \frac{a_1+ \cdots + a_n}{n} \leqslant 1\newline \Leftrightarrow \frac{\frac{1}{a_1^2}+ \cdots + \frac{1}{a_n^2}}{n} \leqslant 1$
Iz A-G nejednakosti i prvog izraza dobivamo dobivamo
$a_1a_2 \cdots a_n \leqslant 1$
a iz drugog izraza
$ \frac{1}{a_1^2a_2^2 \cdots a_n^2} \leqslant 1\newline\Leftrightarrow a_1a_2 \cdots a_n \geqslant 1 $
što je kontradikcija.
Dakle mora vrjediti $a_1 + \cdots + a_n \geqslant n$
Označimo najmanji broj skupa s $a_{min}$
Pretpostavimo da je $a_1 + \cdots + a_n - a_{min} < n-1\Rightarrow a_{min} \geqslant 1$, ali i
$\frac{a_1 + \cdots + a_n - a_{min}}{n-1} < 1$, kako aritmetička sredina nikad nije manja od svih svojih članova, znamo da postoji $i$ takav da $a_i < 1$ ali istovremeno i $a_i \geqslant a_{min}$ što je kontradikcija s $a_{min} \geqslant 1$.
Dakle tvrdnja vrijedi za svaki $m \leqslant n$.
19. travnja 2012. 11:45 | mljulj | Točno |