Školjka

%V0 Prvo ćemo dokazati da je $a_1+ \cdots + a_n \geqslant n$, a zatim ostatak zadatka dokazati indukcijom. Pretpostavimo da je $a_1 + \cdots + a_n \leqslant n \newline \Leftrightarrow \frac{a_1+ \cdots + a_n}{n} \leqslant 1\newline \Leftrightarrow \frac{\frac{1}{a_1^2}+ \cdots + \frac{1}{a_n^2}}{n} \leqslant 1$ Iz A-G nejednakosti i prvog izraza dobivamo dobivamo $a_1a_2 \cdots a_n \leqslant 1$ a iz drugog izraza $ \frac{1}{a_1^2a_2^2 \cdots a_n^2} \leqslant 1\newline\Leftrightarrow a_1a_2 \cdots a_n \geqslant 1 $ što je kontradikcija. Dakle mora vrjediti $a_1 + \cdots + a_n \geqslant n$ Označimo najmanji broj skupa s $a_{min}$ Pretpostavimo da je $a_1 + \cdots + a_n - a_{min} < n-1\Rightarrow a_{min} \geqslant 1$, ali i $\frac{a_1 + \cdots + a_n - a_{min}}{n-1} < 1$, kako aritmetička sredina nikad nije manja od svih svojih članova, znamo da postoji $i$ takav da $a_i < 1$ ali istovremeno i $a_i \geqslant a_{min}$ što je kontradikcija s $a_{min} \geqslant 1$. Dakle tvrdnja vrijedi za svaki $m \leqslant n$.