Školjka

%V0 $\frac{\cos{\alpha}}{a^3} + \frac{\cos{\beta}}{b^3} + \frac{\cos{\gamma}}{c^3} \geqslant \frac{3}{2abc} \newline \Leftrightarrow \frac {2bc\cos{\alpha}}{a^2} + \frac {2ca\cos{\beta}}{b^2} + \frac {2ab\cos{\gamma}}{c^2} \geqslant 3$ Iz kosinusovog poučka dobivamo $2bc\cos{\alpha} = b^2 + c^2 - a^2$. Kada to uvrstimo dobivamo $\frac{b^2+c^2-a^2}{a^2} + \frac{c^2+a^2-b^2}{b^2} + \frac{a^2+b^2-c^2}{c^2} \geqslant 3 \newline \Leftrightarrow \frac{b^2+c^2}{a^2} + \frac{c^2+a^2}{b^2} + \frac{a^2+b^2}{c^2} \geqslant 6 \newline \Leftrightarrow (a^2+b^2)a^2b^2 + (b^2+c^2)b^2c^2 + (c^2+a^2)c^2a^2 \geqslant 6a^2b^2c^2$ Primjenom A-G nejednakosti $a^2+b^2 \geqslant 2ab$ i dijeljenjem s $2$ dobivamo $a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3 \geqslant 3a^2b^2c^2$ što vrijedi po A-G nejednakosti.