Točno
16. travnja 2012. 12:36 (12 godine, 3 mjeseci)
Dokažite da u svakom trokutu vrijedi nejednakost
![\frac{\cos\alpha}{a^3} + \frac{\cos\beta}{b^3} + \frac{\cos\gamma}{c^3} \geq \frac{3}{2abc}](/media/m/6/3/0/6306de56ccb091b6a8f73ed6ed308b5c.png)
pri čemu su
![a, b, c](/media/m/9/e/9/9e9dfe78930065fbe5a777e9b07c27c4.png)
duljine stranica trokuta, te
![\alpha, \beta, \gamma](/media/m/2/8/6/286052c3ef6a627f9d4f5349ddaf2ba7.png)
odgovarajući kutovi.
%V0
Dokažite da u svakom trokutu vrijedi nejednakost
$$\frac{\cos\alpha}{a^3} + \frac{\cos\beta}{b^3} + \frac{\cos\gamma}{c^3} \geq \frac{3}{2abc}$$
pri čemu su $a, b, c$ duljine stranica trokuta, te $\alpha, \beta, \gamma$ odgovarajući kutovi.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
![\frac{\cos{\alpha}}{a^3} + \frac{\cos{\beta}}{b^3} + \frac{\cos{\gamma}}{c^3} \geqslant \frac{3}{2abc} \newline \Leftrightarrow \frac {2bc\cos{\alpha}}{a^2} + \frac {2ca\cos{\beta}}{b^2} + \frac {2ab\cos{\gamma}}{c^2} \geqslant 3](/media/m/8/c/c/8cc16ebfb026966e758574a016700f16.png)
Iz kosinusovog poučka dobivamo
![2bc\cos{\alpha} = b^2 + c^2 - a^2](/media/m/8/3/a/83a9c10cb153922ef1a4923e2681e9f3.png)
. Kada to uvrstimo dobivamo
![\frac{b^2+c^2-a^2}{a^2} + \frac{c^2+a^2-b^2}{b^2} + \frac{a^2+b^2-c^2}{c^2} \geqslant 3 \newline \Leftrightarrow \frac{b^2+c^2}{a^2} + \frac{c^2+a^2}{b^2} + \frac{a^2+b^2}{c^2} \geqslant 6 \newline \Leftrightarrow (a^2+b^2)a^2b^2 + (b^2+c^2)b^2c^2 + (c^2+a^2)c^2a^2 \geqslant 6a^2b^2c^2](/media/m/5/b/3/5b3c14be68294cfc564e7f7685884ff6.png)
Primjenom A-G nejednakosti
![a^2+b^2 \geqslant 2ab](/media/m/f/8/d/f8def862408c98fb6c1501cd906297ca.png)
i dijeljenjem s
![2](/media/m/e/e/e/eeef773d19a3b3f7bdf4c64f501e0291.png)
dobivamo
![a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3 \geqslant 3a^2b^2c^2](/media/m/5/6/2/5628a22461f953873a3fe33a238a3238.png)
što vrijedi po A-G nejednakosti.
%V0
$\frac{\cos{\alpha}}{a^3} + \frac{\cos{\beta}}{b^3} + \frac{\cos{\gamma}}{c^3} \geqslant \frac{3}{2abc} \newline \Leftrightarrow \frac {2bc\cos{\alpha}}{a^2} + \frac {2ca\cos{\beta}}{b^2} + \frac {2ab\cos{\gamma}}{c^2} \geqslant 3$
Iz kosinusovog poučka dobivamo $2bc\cos{\alpha} = b^2 + c^2 - a^2$. Kada to uvrstimo dobivamo
$\frac{b^2+c^2-a^2}{a^2} + \frac{c^2+a^2-b^2}{b^2} + \frac{a^2+b^2-c^2}{c^2} \geqslant 3 \newline \Leftrightarrow \frac{b^2+c^2}{a^2} + \frac{c^2+a^2}{b^2} + \frac{a^2+b^2}{c^2} \geqslant 6 \newline \Leftrightarrow (a^2+b^2)a^2b^2 + (b^2+c^2)b^2c^2 + (c^2+a^2)c^2a^2 \geqslant 6a^2b^2c^2$
Primjenom A-G nejednakosti $a^2+b^2 \geqslant 2ab$ i dijeljenjem s $2$ dobivamo
$a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3 \geqslant 3a^2b^2c^2$
što vrijedi po A-G nejednakosti.
19. travnja 2012. 11:41 | mljulj | Točno |