Neocijenjeno
27. srpnja 2017. 19:04 (6 godine, 11 mjeseci)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Označimo s
početnu nejednakost.
Uvrštavanjem
u
dobivamo
![f(m+1) \geq f(m) + f(f(1)) -1 \geq f(m)](/media/m/7/f/1/7f1a6eb58a355cff39ac13f5561f7a50.png)
pa dobivamo da je
neopadajuća.
Ideja je sada naći gornju granicu. Pretpostavimo da postoji
tako da je
. Tada uvrštavanjem
u
dobivamo
![f(f(t)) \geq f(f(t)-t)+f(f(t))-1](/media/m/5/a/6/5a63d6f857be5b215e0cd26bf72602c8.png)
odnosno
![f(f(t) - t) =1](/media/m/b/3/7/b37013a61cab53e3951b24e92f116064.png)
Pretpostavimo da je funkcija nekonstantna (konstanta
zadovoljava uvjet i daje moguću vrijednost
). Tada, kako je i neopadajuća postoji tek konačan broj prirodnih
takvih da je
.
Razmotrimo onda prirodan
tako da je
poprima najveću vrijednost. Tada uvrštavanjem
u
dobivamo
![f(2k) \geq 2f(k) - 1 = 2(k+l)-1](/media/m/b/8/5/b85900e520fcead02bff28a500b0ccf7.png)
Također je po pretpostavci o maksimumu
Kombiniranjem te dvije nejednakosti dobivamo
odnosno
za svaki prirodan
. Stoga
.
Dokazat ćemo da za svaku prirodnu vrijednost
postoji funkcija
koja zadovoljava uvjet te je pritom
.
Za
uzimamo konstantu
. Ona očito zadovoljava uvjete zadatka. ![\checkmark](/media/m/4/9/0/490396eeaebe3a4dc1adbc5436f0da1e.png)
Za ostale
definirajmo skup
. Ako je
neka je
, a u suprotnom
. Razmatranjem svih slučajeva se lako ustanovi da ovakve funkcije zadovoljavaju uvjet.
.
Za
neka je
i
za
. Razmatranjem
i
vidimo da funkcija zadovoljava uvjet, a za
se
poklapa s identitetom koja je očito rješenje.
![(1)](/media/m/2/5/e/25e5e167a3616378fc4ad422677ae0c4.png)
Uvrštavanjem
![(1,m)](/media/m/0/6/9/0694491b7b827674733d33226d9ef387.png)
![(1)](/media/m/2/5/e/25e5e167a3616378fc4ad422677ae0c4.png)
![f(m+1) \geq f(m) + f(f(1)) -1 \geq f(m)](/media/m/7/f/1/7f1a6eb58a355cff39ac13f5561f7a50.png)
pa dobivamo da je
![f](/media/m/9/9/8/99891073047c7d6941fc8c6a39a75cf2.png)
Ideja je sada naći gornju granicu. Pretpostavimo da postoji
![t](/media/m/7/f/6/7f630d3904cfcd77d22bd7938423df6c.png)
![f(t)>t](/media/m/d/a/3/da39230cdc54ff2a694ed98c25869b46.png)
![(f(t)-t,t)](/media/m/8/7/3/873e727df32fa9a11c229de79ac685af.png)
![(1)](/media/m/2/5/e/25e5e167a3616378fc4ad422677ae0c4.png)
![f(f(t)) \geq f(f(t)-t)+f(f(t))-1](/media/m/5/a/6/5a63d6f857be5b215e0cd26bf72602c8.png)
odnosno
![f(f(t) - t) =1](/media/m/b/3/7/b37013a61cab53e3951b24e92f116064.png)
Pretpostavimo da je funkcija nekonstantna (konstanta
![f(n)\equiv 1](/media/m/8/5/7/857c01be2099ba489940300a6bc28b06.png)
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
![m](/media/m/1/3/6/1361d4850444c055a8a322281f279b39.png)
![f(m)=1](/media/m/e/8/3/e833856ded133a3f6d38fc086ee93640.png)
Razmotrimo onda prirodan
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
![f(k)-k=l](/media/m/4/1/e/41ebc8992c67a57e333c42077ba87575.png)
![(k,k)](/media/m/7/f/6/7f673e13a5a31a2a8a6060d5976e0b7a.png)
![(1)](/media/m/2/5/e/25e5e167a3616378fc4ad422677ae0c4.png)
![f(2k) \geq 2f(k) - 1 = 2(k+l)-1](/media/m/b/8/5/b85900e520fcead02bff28a500b0ccf7.png)
Također je po pretpostavci o maksimumu
![f(2k)-2k \leq l](/media/m/f/f/2/ff2a4f2321a030ee4813644fec87e362.png)
![l \leq 1](/media/m/d/3/1/d31a81d1982f66178f44292898108fc8.png)
![f(n) \leq n+1](/media/m/0/4/0/040695bb728b82a1679a369f911129ba.png)
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
![1 \leq f(2007) \leq 2008](/media/m/8/4/c/84c6919950d77dbcaa84878ad85641d2.png)
Dokazat ćemo da za svaku prirodnu vrijednost
![x \leq 2008](/media/m/3/f/e/3fee3136ac096ab4402520c038a47eed.png)
![f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}](/media/m/0/6/4/064f5e79a7f8bd81b5e7163e70e87d6b.png)
![f(2007) = x](/media/m/7/a/6/7a6bcb7ae15882af39a8ff5e8bca7d86.png)
Za
![x=1](/media/m/3/4/9/3491fdc1148836187540039de445a211.png)
![f(n) \equiv 1](/media/m/e/2/d/e2db3793753998fb333415d074fb4265.png)
![\checkmark](/media/m/4/9/0/490396eeaebe3a4dc1adbc5436f0da1e.png)
Za ostale
![x \leq 2007](/media/m/f/8/a/f8a5727abbef8558f773021b8f84969e.png)
![S_x = \{ 1, 2, \dots , n-x+1 \}](/media/m/1/f/9/1f9a5053f103d73fd3af2c8ef14dd31d.png)
![n \in S_x](/media/m/8/4/2/8421f9928afea44a3780aefd224d5aea.png)
![f(n)=1](/media/m/d/2/5/d25c8d774b75bd66dcdeef9c63fd2af9.png)
![f(n) = n+x-2007](/media/m/8/0/d/80dd026b0a1f9bbe3e13088152d36def.png)
![\checkmark](/media/m/4/9/0/490396eeaebe3a4dc1adbc5436f0da1e.png)
Za
![x=2008](/media/m/5/b/9/5b9b7d68594b7bd7b3eb2c441b61195c.png)
![f(2007) = 2008](/media/m/c/1/f/c1f1a26b42ee24acf66efd1122c34ce5.png)
![f(n)=n](/media/m/8/9/5/895892c742b7a89c384107ae453e9ffb.png)
![n \neq 2007](/media/m/e/d/6/ed6386b5c071063afb23ea234c98d252.png)
![m=2007](/media/m/e/5/1/e51adec38e56ec0fc8bb2b0577a3788b.png)
![n=2007](/media/m/2/4/1/2418fcec809febd4c2160b01003d00fd.png)
![m,n \neq 2007](/media/m/c/c/c/ccc2137aabf7eba143cd8cba7d06f983.png)
![f](/media/m/9/9/8/99891073047c7d6941fc8c6a39a75cf2.png)
![\checkmark](/media/m/4/9/0/490396eeaebe3a4dc1adbc5436f0da1e.png)