Školjka

%V0 Možemo primjetiti da je $ \sin^4x \geqslant \sin^5x $ i $ \cos^4x \geqslant \cos^5x $. Dakle, dovoljno je dokazati $ 2\sin^4x + \cos^4x \leqslant 2 $. Također, primijetimo da je $ \sin^4x + \cos^4x = (\sin^2x + \cos^2x)^2 - 2\sin^2x\cos^2x $. Uvrštavanjem i sređivanjem dobivamo $ \sin^2x(\sin^2x - 2\cos^2x) \leqslant 1 $ što sigurno vrijedi jer su oba broja manja ili jednaka 1. Jednakost se za drugi izraz postiže za $ \sin^2x = 1 $ pa je za početni izraz dovoljno provjeriti te slučajeve. $ \sin{x} = 1 \Rightarrow \sin^5x=1, \sin^4x=1, cos^5x=0 $ , pa vidimo da za $ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi $ jednakost vrijedi. $ sin{x} = -1 \Rightarrow \sin^5x=-1, \sin^4x=1, \cos^5x=0 $, za što jednakost ne vrijedi, pa vidimo da se jednakost postiže jedino za $ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi $ .