Točno
17. travnja 2012. 20:49 (12 godine, 3 mjeseci)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Možemo primjetiti da je
i
.
Dakle, dovoljno je dokazati
.
Također, primijetimo da je
.
Uvrštavanjem i sređivanjem dobivamo
što sigurno vrijedi jer su oba broja manja ili jednaka 1.
Jednakost se za drugi izraz postiže za
pa je za početni izraz dovoljno provjeriti te slučajeve.
, pa vidimo da za
jednakost vrijedi.
, za što jednakost ne vrijedi, pa vidimo da se jednakost postiže jedino za
.
![\sin^4x \geqslant \sin^5x](/media/m/4/f/7/4f7f6ab4bc31ec351ba1349abcc66bb0.png)
![\cos^4x \geqslant \cos^5x](/media/m/e/c/6/ec67d8d80dd95524d493a52e5598d1a8.png)
Dakle, dovoljno je dokazati
![2\sin^4x + \cos^4x \leqslant 2](/media/m/7/d/7/7d7bbca32a9c8be618329f4c45ea3e80.png)
Također, primijetimo da je
![\sin^4x + \cos^4x = (\sin^2x + \cos^2x)^2 - 2\sin^2x\cos^2x](/media/m/5/0/7/507433a866f488c604569c61c5a4de8b.png)
Uvrštavanjem i sređivanjem dobivamo
![\sin^2x(\sin^2x - 2\cos^2x) \leqslant 1](/media/m/7/9/7/79713c8f537330fad0162dc48ee803fd.png)
Jednakost se za drugi izraz postiže za
![\sin^2x = 1](/media/m/e/c/b/ecb8a778b2c7f3da9ee8dbe42c787992.png)
![\sin{x} = 1 \Rightarrow \sin^5x=1, \sin^4x=1, cos^5x=0](/media/m/d/d/9/dd92dad54a16a46d10d8aa6d9cb37856.png)
![x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi](/media/m/4/c/1/4c127a8ae8f9003406be1480b3fecc61.png)
![sin{x} = -1 \Rightarrow \sin^5x=-1, \sin^4x=1, \cos^5x=0](/media/m/e/0/b/e0b279cc06e7c59ad138757625486012.png)
![x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi](/media/m/4/c/1/4c127a8ae8f9003406be1480b3fecc61.png)