Školjka

%V0 $\text{Lema o spiralnoj sličnosti}$: Ako su dane u ravnini točke $A,B,C,D$ i $X$ sjecište pravaca $AC$ i $BD$ tada je sjecište kružnica $(ABX)$ i $(CDX)$ centar spiralne simetrije $h$ za koju je $h(A)=C, h(B)=D$. (*) $\text{Yébalatheova lema}$: Ako su dane kružnice $\omega_1, \omega_2$ centara $O_1, O_2$ i sjecišta $I_1, I_2$ tada je $O_1 O_2 \perp I_1 I_2$. (**) Neka je $\angle DAC = \alpha, \angle ADC = \delta, \angle DCA = \gamma, \angle DBA = \chi$. Primjenom (*) za $A \equiv X \equiv C$ znamo da je $B$ centar spiralne sličnosti koja šalje $D$ u $A$ i $A$ u $C$. Stoga $\angle DBA = \angle BCA$, $\angle BAD= \angle ACB, \angle BDA= \angle BAC$. Po zbroju kutova u četverokutu $DBCA$ imamo $\chi = 180 - \alpha$ te iz toga $\angle DBC = 2\alpha = \angle DEC$. Uz to te kako se $E$ nalazi na simetrali dužine $CD$ zaključujemo da je $E$ centar kružnice $(ACD)$. Nadalje neka je $I_3$ centar kružnice $\mathcal K_3$ i $M$ sjecište $CD$ i $KL$. Po (**) imamo $EI_3 \perp CD$, a kako želimo dokazati $AE \perp KL$ dovoljno je dokazati $\angle(AE,EI_3)=\angle(DC,KL)$ odnosno $\angle AEI_3 = 180-\angle DMK$. To lako dovršavamo angle chasingom. Kako je $E$ središte $(ACD)$ je $\angle AEI_3 = 2\gamma + \alpha$. Također zbog tetivnosti i zbroja u trokutu $DMK$ je $\angle DMK=\delta-\gamma=180-\alpha-\gamma-\gamma=180-\alpha-2\gamma=180-\angle AEI_3$. $\square$