Točno
27. srpnja 2017. 12:35 (6 godine, 11 mjeseci)
niz
![(a_n)_{n\in\mathbb{N}}](/media/m/8/b/f/8bf2dea9eb8ec9da258cee5b92fe67c1.png)
je zadan rekurzivno s
![a_1 = 1](/media/m/c/9/a/c9a99ff3b05ecb5b79ac5d9a7bad4117.png)
,
![a_n = a_1 \cdot \dots \cdot a_{n-1} + 1](/media/m/3/4/1/3416bb3edb424980a3eec8addead4019.png)
, za
![n \geq 2](/media/m/2/1/f/21fe2458de6d1580c44fd06e0fac11bb.png)
.
odredite najmanji realni broj
![M](/media/m/f/7/f/f7f312cf6ba459a332de8db3b8f906c4.png)
takav da je
![\sum_{n=1}^m \frac{1}{a_n} < M](/media/m/e/1/6/e16ce5ec769995646cdb3df52d9c2891.png)
za svaki
![m \in \mathbb{N}](/media/m/1/b/6/1b658ec5755c3f77f43a2bc121c4bf9a.png)
.
%V0
niz $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ je zadan rekurzivno s $a_1 = 1$,
$a_n = a_1 \cdot \dots \cdot a_{n-1} + 1$, za $n \geq 2$.
odredite najmanji realni broj $M$ takav da je
$\sum_{n=1}^m \frac{1}{a_n} < M$ za svaki $m \in \mathbb{N}$.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Primjetimo da je
![\frac{1}{a_n} = \frac{a_n -1}{a_n(a_n -1)} = \frac{1}{a_n -1} - \frac{1}{a_n(a_n -1)} = \frac{1}{ \prod \limits_{i=1}^{n-1} a_i} - \frac{1}{ \prod \limits_{i=1}^n a_i}](/media/m/3/c/4/3c4a17c7d951482eda336562181b35ca.png)
Jasno je da će nakon što se sve lijepo pokrati vrijediti:
![\sum \limits_{n=1}^m { \frac{1}{a_n}} = \frac{2}{a_1} - \frac{1}{ \prod \limits_{n=1}^m a_n} = 2 - \frac{1}{ \prod \limits_{n=1}^m a_n} \ < 2](/media/m/8/d/5/8d58f92f44e507b5f4e1a6358e5ac457.png)
za svaki
![m \in \mathbb{N}](/media/m/1/b/6/1b658ec5755c3f77f43a2bc121c4bf9a.png)
.
Budući da izraz
![\frac{1}{ \prod \limits_{n=1}^m a_n}](/media/m/4/5/6/456165f8b6d4476b7219a876912d1736.png)
neprestano raste(što je veći broj
![m](/media/m/1/3/6/1361d4850444c055a8a322281f279b39.png)
) i teži ka nuli,
![M=2](/media/m/b/5/2/b52a5c64b4f869defc3bd7a4833e26b2.png)
je najmanji takav broj
%V0
Primjetimo da je
$\frac{1}{a_n} = \frac{a_n -1}{a_n(a_n -1)} = \frac{1}{a_n -1} - \frac{1}{a_n(a_n -1)} = \frac{1}{ \prod \limits_{i=1}^{n-1} a_i} - \frac{1}{ \prod \limits_{i=1}^n a_i}$
Jasno je da će nakon što se sve lijepo pokrati vrijediti:
$\sum \limits_{n=1}^m { \frac{1}{a_n}} = \frac{2}{a_1} - \frac{1}{ \prod \limits_{n=1}^m a_n} = 2 - \frac{1}{ \prod \limits_{n=1}^m a_n} \ < 2$ za svaki $m \in \mathbb{N}$.
Budući da izraz $\frac{1}{ \prod \limits_{n=1}^m a_n}$ neprestano raste(što je veći broj $m$) i teži ka nuli, $M=2$ je najmanji takav broj $M$