Zadan je niz , , , , za svako . Dokažite da se svaki prirodni broj može prikazati kao zbroj različitih elemenata tog niza.
%V0
Zadan je niz $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=4$, $x_{n+3}=x_{n+2}+x_{n+1}+x_n$, za svako $n \in \mathbb{N}$. Dokažite da se svaki prirodni broj može prikazati kao zbroj različitih elemenata tog niza.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili! Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Baza indukcije
Pretpostavka indukcije Sve brojeve možemo prikazati kao sumu različitih članova.
Korak Sve brojeve do možemo prikazati kao gdje je Dakle dovoljno je pokazati da je . što slijedi iz pretpostavke
%V0
Baza indukcije
$ 1=x_1 \newline 2=x_2 \newline 3=x_1 + x_2 \newline 4=x_3 \newline 5=x_1+x_3 \newline 6=x_2+x_4$
Pretpostavka indukcije
Sve brojeve $k \leqslant x_n, n \geqslant 4$ možemo prikazati kao sumu različitih članova.
Korak
Sve brojeve do $k \leqslant 2x_n-1$ možemo prikazati kao $(x_n-m) + x_n$ gdje je $x_n > m \geqslant 1 $
Dakle dovoljno je pokazati da je $2x_n - 1 \geqslant x_{x+1}$.
$2x_n - 1 \geqslant x_{x+1} \newline \Leftrightarrow x_n + x_{n-1} + x_{n-2} + x_{n-3} -1 \geqslant x_n + x_{n-1}+x{n-2} \newline \Leftrightarrow x_{n-3} \geqslant 1$
što slijedi iz pretpostavke $n \geqslant 4$
Školjka 
, 
, 
, 
, za svako 
. Dokažite da se svaki prirodni broj može prikazati kao zbroj različitih elemenata tog niza. 
možemo prikazati kao sumu različitih članova.
možemo prikazati kao 
gdje je 
.
