Točno
9. ožujka 2018. 00:41 (7 godine)
Let be a triangle with circumcircle
and incentre
. Let the line passing through
and perpendicular to
intersect the segment
and the arc
(not containing
) of
at points
and
, respectively. Let the line passing through
and parallel to
intersect
at
, and let the line passing through
and parallel to
intersect
at
. Let
and
be the midpoints of
and
, respectively. Prove that if the points
,
, and
are collinear, then the points
,
, and
are also collinear.
(U.S.A.)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Iskoristimo prvo paralelnosti koje su nam dane u zadatku tj. 
Dakle četverokut
je tetivan, nadalje motivirani ovom tetivnošću definiramo presjek pravaca
i
kao točka
. Sada kako je
i
imamo da je
također tetivan. Kratkim angle chaseom ovog kuta dobijamo
odakle slijedi da je
jednakokračan. U ovom trenutku se jos nije razvila neka posebna ideja za rijesiti zadatak pa nastavljamo sa iskorištavanjem uvjeta, tj uvjeta kolinearnosti točaka
i
. Uz paralelnost dobijamo:
Ili možda u korisnijoj formi
Sada u biti uviđamo neku simetriju sa već definiranom okomicom iz
na
.
Problem je kako u skicu na lijep način ubaciti polovišta jer ne izgleda kao da možemo
i
nekako pametno povezati.
Sljedeći korak je svakako plodan: definiranje točke
simetričnoj točki
preko
, tu je
polovište dužine
odakle je
. Sada smo već nekako zgrabili točke
i
u neki dio skice, i odmah se možemo lakše igrati... ostaje naravno dokazati
što bi riješilo zadatak.
(Arseniy Akopyan EnGeoFigures) prvi dan. Dodajmo polovište
luka
sa točkom
. Lemma glasi da je 
Dokaz lemme ostavljen čitatelju.
Uočimo sličnost trokutova
i
. Trivijalno je
¸Ne toliko teško dolazimo do jednakosti
odakle zbog sličnosti slijedi
dakle
raspolavlja luk
sa
u točki
. Neka je još
sjecište
i
. Imamo
pa
tetivan time je uz
i prije navedeno
dakle
odnosno
kolinearne

Dakle četverokut
















Problem je kako u skicu na lijep način ubaciti polovišta jer ne izgleda kao da možemo


Sljedeći korak je svakako plodan: definiranje točke















Dokaz lemme ostavljen čitatelju.
Uočimo sličnost trokutova

















