Školjka

%V0 Neka je $P(m,n)$ uvrštavanje u izraz $m^2+f(n) | mf(m) + n $ $P(n,n): n^2+f(n)|nf(n)+n \Rightarrow n^2+f(n) \leq nf(n)+n $ odnosno $nf(n) - f(n) -(n^2-n) \geq 0$ što se lijepše faktorizira u $$ (f(n)-n)(n-1)\geq 0$$ Dakle imamo da $\forall n > 1$ vrijedi $$f(n) \geq n $$ Nadalje nastavljamo sa nasumičnim uvrštavanjem i u jednom trenutku dođemo do $P(2,2): 4+f(2)|2f(2) +2$, neka je $f(2)=x$ kao i prije vrijedi $4+x\leq 2x +2 \Rightarrow 2x +2 -(4+x)\geq 0$ Što koristimo u slijedećem, $4+x|2x+2-(4+x)=x-2$ no $ x-2 < 4 + x $. A za neke prirodne brojeve $a$ i $b$ takve da je $b<a$, $a|b$ samo ako je $b=0$, dakle zaključujemo da $x-2=0$ odnosno $f(2)=2$. Kako nekako intuitivno tražimo gornju granicu za $f(n)$, da bi dokazali $f(n)=n$, slijedeći logičan korak je $P(2,n)$ koji daje $4+f(n)|2f(2)+n$ te isto kao i prije dolazimo do $$f(n)\leq n$$ Za $n=1$ imamo $f(1)\leq 1$ a kako bi funkcija bila definirana za sve prirodne brojeve mora vrijediti $f(1)=1$ te zaključujemo da je $$f(n)=n, \forall n \in \mathbb{N}$$