Točno
18. travnja 2012. 18:09 (12 godine, 3 mjeseci)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
BSOMP
a kako su svi elementi N i ![a-1\geqslant b , a-2 \geqslant c](/media/m/0/f/0/0f0f896c4f0670d0c98f84b1ad732752.png)
Dakle sigurno vrijedi
![a(a-1) + (a-1)(a-2) + (a-2)a \geqslant 3k^2 -1\newline \Leftrightarrow 3a^2 - 6a + 3 \geqslant 3k^2 \newline \Leftrightarrow a^2 - 2a +1 \geqslant k^2 \newline \Leftrightarrow a-1 \geqslant k](/media/m/e/d/6/ed62f37cb7a9c207eb59413f8a0cd737.png)
Pokažimo da tada zadatak sigurno vrijedi za tri uzastopna broja
![a^3 + (a-1)^3 + (a-2)^3 \geqslant 3a(a-1)(a-2) + 9k \newline \Leftrightarrow 3a^3 -9a^2 + 15a -9 \geqslant 3a^3 -9a^2 + 6a +9k \newline \Leftrightarrow 9a - 9 \geqslant 9k \newline \Leftrightarrow a - 1\geqslant k](/media/m/6/1/6/616ed27b9ecc535c95acda501a19a0ec.png)
Što smo dokazali da slijedi iz uvjeta zadatka
Dakle, za svaka tri uzastopna broja ovo vrijedi. Sada pretpostavimo da postoje neki
i
takvi da
![3a(a-x)(a-y) + 9k > a^3 + (a-x)^3 + (a-y)^3 \newline a^3 + (a-1)^3 + (a-2)^3 \geqslant 3a(a-1)(a-2) + 9k](/media/m/f/9/3/f932018a5a3d641d40cd97e11fc1f7af.png)
Zbrajanjem ovih nejednakosti dobivamo
![(a-1)^3 + (a-2)^3 + 3a(a-x)(a-y) > (a-x)^3 + (a-y)^3 + 3a(a-1)(a-2) \newline \Leftrightarrow 9a + 3xy + x^3 + y^3 > 3x^2a + 3y^2a + 9](/media/m/d/4/5/d45e32cb2446880ccc5198971d4ce66f.png)
![a>x , a>y \Rightarrow x^2a>x^3 , y^2a>y^3](/media/m/c/0/4/c0466d229829d0ade626bbf3fc167162.png)
Pa imamo
![9a + 3xy > 2x^2a + 2y^2a + 9 \newline x \geqslant 3 \Rightarrow x^2 \geqslant 9 \Rightarrow x^2a \geqslant 9a](/media/m/2/7/0/270857f8565ecf44451008e398286ffc.png)
Pa dobivamo
![3xy > x^2a + 2y^2a + 9 \newline a>x, a>y \Rightarrow xa>xy, ya>xy \Rightarrow x^2a>xy, y^2a>xy](/media/m/a/9/9/a99ffe186b7f995f991373cc58aa079b.png)
Pa imamo
![0>9](/media/m/8/c/2/8c27f4dd7dd1e6ef0ffe9ddc43e27c73.png)
što je kontrdadikcija. Dakle, ne postoje prirodni brojevi brojevi manji od
takvi da
![a>b>c](/media/m/2/7/d/27db0a5a21757b348d74178cd1471c89.png)
![a-1\geqslant b , a-2 \geqslant c](/media/m/0/f/0/0f0f896c4f0670d0c98f84b1ad732752.png)
Dakle sigurno vrijedi
![a(a-1) + (a-1)(a-2) + (a-2)a \geqslant 3k^2 -1\newline \Leftrightarrow 3a^2 - 6a + 3 \geqslant 3k^2 \newline \Leftrightarrow a^2 - 2a +1 \geqslant k^2 \newline \Leftrightarrow a-1 \geqslant k](/media/m/e/d/6/ed62f37cb7a9c207eb59413f8a0cd737.png)
Pokažimo da tada zadatak sigurno vrijedi za tri uzastopna broja
![a^3 + (a-1)^3 + (a-2)^3 \geqslant 3a(a-1)(a-2) + 9k \newline \Leftrightarrow 3a^3 -9a^2 + 15a -9 \geqslant 3a^3 -9a^2 + 6a +9k \newline \Leftrightarrow 9a - 9 \geqslant 9k \newline \Leftrightarrow a - 1\geqslant k](/media/m/6/1/6/616ed27b9ecc535c95acda501a19a0ec.png)
Što smo dokazali da slijedi iz uvjeta zadatka
Dakle, za svaka tri uzastopna broja ovo vrijedi. Sada pretpostavimo da postoje neki
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
![y](/media/m/c/c/0/cc082a07a517ebbe9b72fd580832a939.png)
![x,y \in \mathbb{N}](/media/m/3/5/5/355db1fcd337d38afcd5043d3923f893.png)
![a > x > y \geqslant 2](/media/m/1/3/9/139079d1e89be0743966061c6b8d35be.png)
![3a(a-x)(a-y) + 9k > a^3 + (a-x)^3 + (a-y)^3 \newline a^3 + (a-1)^3 + (a-2)^3 \geqslant 3a(a-1)(a-2) + 9k](/media/m/f/9/3/f932018a5a3d641d40cd97e11fc1f7af.png)
Zbrajanjem ovih nejednakosti dobivamo
![(a-1)^3 + (a-2)^3 + 3a(a-x)(a-y) > (a-x)^3 + (a-y)^3 + 3a(a-1)(a-2) \newline \Leftrightarrow 9a + 3xy + x^3 + y^3 > 3x^2a + 3y^2a + 9](/media/m/d/4/5/d45e32cb2446880ccc5198971d4ce66f.png)
![a>x , a>y \Rightarrow x^2a>x^3 , y^2a>y^3](/media/m/c/0/4/c0466d229829d0ade626bbf3fc167162.png)
Pa imamo
![9a + 3xy > 2x^2a + 2y^2a + 9 \newline x \geqslant 3 \Rightarrow x^2 \geqslant 9 \Rightarrow x^2a \geqslant 9a](/media/m/2/7/0/270857f8565ecf44451008e398286ffc.png)
Pa dobivamo
![3xy > x^2a + 2y^2a + 9 \newline a>x, a>y \Rightarrow xa>xy, ya>xy \Rightarrow x^2a>xy, y^2a>xy](/media/m/a/9/9/a99ffe186b7f995f991373cc58aa079b.png)
Pa imamo
![0>9](/media/m/8/c/2/8c27f4dd7dd1e6ef0ffe9ddc43e27c73.png)
što je kontrdadikcija. Dakle, ne postoje prirodni brojevi brojevi manji od
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
![a^3 + b^3 + c^3 < 3abc + 9k](/media/m/a/c/9/ac92d9318c66ace95c6b19c4316d6a95.png)
Ocjene: (1)
Komentari:
Veki, 19. travnja 2012. 22:22
ikicic, 19. travnja 2012. 19:44
kokan, 19. travnja 2012. 14:58
mimaro, 19. travnja 2012. 14:55
Ovo je krivo (koliko se meni čini).
Stavivši tamo dolje a-1 umjesto b i a-2 umjesto c; maksimiziraš lijevu stranu nejdnakosti po varijablama a,b,c (doduše i desnu isto), a to ne smiješ.
Naime, pokažeš da je Max(Lijevo)>=Max(desno) za neki fiksni a. Ali to nije dovoljno. Jer znaš samo Max(Lijevo)>=Lijevo i Max(Desno)>=Desno, i Max(Lijevo)>=Max(desno). A iz toga ne možeš zaključiti Lijevo>=Desno.
Jesam li u krivu?
Stavivši tamo dolje a-1 umjesto b i a-2 umjesto c; maksimiziraš lijevu stranu nejdnakosti po varijablama a,b,c (doduše i desnu isto), a to ne smiješ.
Naime, pokažeš da je Max(Lijevo)>=Max(desno) za neki fiksni a. Ali to nije dovoljno. Jer znaš samo Max(Lijevo)>=Lijevo i Max(Desno)>=Desno, i Max(Lijevo)>=Max(desno). A iz toga ne možeš zaključiti Lijevo>=Desno.
Jesam li u krivu?