Školjka

%V0 Za svaka dva međusobno jednaka realna broja jednakost očito vrijedi. Vrijedi i ako je jedan od brojeva $0$, a drugi proizvoljan realan broj. Vrijedi i za svaka dva cjela broja jer $ \lfloor na \rfloor = na $ za sve cjelobrojne $n$ i $a$. Definirajmo $ \{x\} $ kao decimalni dio od $x$ to jest $ \{x\} = x - \lfloor x \rfloor $. $a \lfloor bn \rfloor =b \lfloor an \rfloor \newline \Leftrightarrow abn - a\{bn\}= abn - b\{an\} \newline \Leftrightarrow a\{bn\}=b\{an\}$ Pretpostavimo da su $a$ i $b$ različiti racionalni brojevi, s različitim nazivnicima. Tada postoji $n$ takav da $\{an\}=0$, a $ \{nb\} \neq 0 $, ili naopako. Dakle očito su nazivnici jednaki. Označimo taj nazivnik s $p$, a brojnike s $x$i $y$. Ako je $\gcd (x,p) \neq \gcd (y,p)$ onda ponovo mozemo naci $n$ takav da je jedna strana jednakosti $0$ a druga nije. BSOMP $ a>b $ Neka je $k=\dfrac{a}{b}$ $ k\{nb\}=\{na\} $ Kako je $b$ racionalan, $\{bn\}$ će imati konačno mnogo vrijednosti koje će se periodički ponavljati za različite $n$. Uzmimo najveću od tih vrjednosti. Neka se ona postiže za $ n=n_1 $. $ \{bn_1\} \geqslant \{an_1\} $ to postižu iste ostatke znamo iz činjenoce da $ \gcd (x,p)=\gcd(y,p) $ Kako je, zbog pretpostavke, $ k > 1 $ slijedi $ k\{bn_1\} > \{an_1\} $ Dakle, jednakost ne vrijedi, pa dva racionalna broja (različita od nula) i međusobno različita ne zadovoljavaju uvjete zadatka. Pretpostavimo sada da da su i $a$ i $b$ iracionalni. BSOMP $a>b$ $ k=\dfrac{a}{b} $ $ k\{bn\} =\{an\}$ Iz dirichletovog principa znamo da $\{bn\}$ može biti proizvoljno blizu $1$, pa sigurno $\exists n$ takav da $ \{bn\} > \dfrac{b}{a} $ pa je za taj $n$ $ k\{bn\} > 1 $, a $ \{an\}<1 \forall n$ Pa jednoakost ne može vrijediti. Ako je $a$ racionalan, a $b$ nije, postoji n takav da $ \{an\}=0 $, što za $b$ ne postoji. Dakle jedina rje[enja su: $ (0,x), x \in \mathbb{R} \newline (x,x), x \in \mathbb{R} \newline (x,y), x,y \in \mathbb{Z}$