Točno
18. travnja 2012. 18:09 (12 godine, 3 mjeseci)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Za svaka dva međusobno jednaka realna broja jednakost očito vrijedi. Vrijedi i ako je jedan od brojeva
, a drugi proizvoljan realan broj. Vrijedi i za svaka dva cjela broja jer
za sve cjelobrojne
i
.
Definirajmo
kao decimalni dio od
to jest
.
Pretpostavimo da su
i
različiti racionalni brojevi, s različitim nazivnicima.
Tada postoji
takav da
, a
, ili naopako. Dakle očito su nazivnici jednaki.
Označimo taj nazivnik s
, a brojnike s
i
. Ako je
onda ponovo mozemo naci
takav da je jedna strana jednakosti
a druga nije.
BSOMP![a>b](/media/m/9/3/e/93ec187b4eea9a155615a5025c8701f3.png)
Neka je![k=\dfrac{a}{b}](/media/m/8/5/d/85d3c8a0e7b1b87db61b0622ae96d304.png)
![k\{nb\}=\{na\}](/media/m/1/2/0/120cdd4750329a1828d82d30fbb6c6a0.png)
Kako je
racionalan,
će imati konačno mnogo vrijednosti koje će se periodički ponavljati za različite
.
Uzmimo najveću od tih vrjednosti. Neka se ona postiže za
.
to postižu iste ostatke znamo iz činjenoce da ![\gcd (x,p)=\gcd(y,p)](/media/m/a/b/e/abe4f5fbaad1a734d40c18a3e245c191.png)
Kako je, zbog pretpostavke,
slijedi ![k\{bn_1\} > \{an_1\}](/media/m/a/8/2/a821d532519193668965e80b3e61ddfe.png)
Dakle, jednakost ne vrijedi, pa dva racionalna broja (različita od nula) i međusobno različita ne zadovoljavaju uvjete zadatka.
Pretpostavimo sada da da su i
i
iracionalni.
BSOMP![a>b](/media/m/9/3/e/93ec187b4eea9a155615a5025c8701f3.png)
![k=\dfrac{a}{b}](/media/m/8/5/d/85d3c8a0e7b1b87db61b0622ae96d304.png)
![k\{bn\} =\{an\}](/media/m/4/b/a/4ba5ddb985014231ce1ef341e8ea10b3.png)
Iz dirichletovog principa znamo da
može biti proizvoljno blizu
, pa sigurno
takav da
pa je za taj ![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
, a ![\{an\}<1 \forall n](/media/m/4/b/f/4bff486530b20cd78256e625e0fa8450.png)
Pa jednoakost ne može vrijediti.
Ako je
racionalan, a
nije, postoji n takav da
, što za
ne postoji.
Dakle jedina rje[enja su:
![0](/media/m/7/b/8/7b8b0b058cf5852d38ded7a42d6292f5.png)
![\lfloor na \rfloor = na](/media/m/5/6/f/56f23593bebca71ee0f79a1f3eac44c2.png)
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
Definirajmo
![\{x\}](/media/m/a/4/1/a41644a290fe0a9c2b7f2271a8a0dea2.png)
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
![\{x\} = x - \lfloor x \rfloor](/media/m/e/3/d/e3dc9f172220846be7dfd483083b7e67.png)
![a \lfloor bn \rfloor =b \lfloor an \rfloor \newline \Leftrightarrow abn - a\{bn\}= abn - b\{an\} \newline \Leftrightarrow a\{bn\}=b\{an\}](/media/m/6/d/a/6da06f2ac680fdda742bbbb4534ab58a.png)
Pretpostavimo da su
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
Tada postoji
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
![\{an\}=0](/media/m/3/5/8/3587b35019400ede12d19094fd03c9e9.png)
![\{nb\} \neq 0](/media/m/b/a/1/ba10c77243765334178dc0171c6d6dcc.png)
Označimo taj nazivnik s
![p](/media/m/1/c/8/1c85c88d10b11745150467bf9935f7de.png)
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
![y](/media/m/c/c/0/cc082a07a517ebbe9b72fd580832a939.png)
![\gcd (x,p) \neq \gcd (y,p)](/media/m/0/6/3/063fedf5bb212550d30af8acf3a6611f.png)
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
![0](/media/m/7/b/8/7b8b0b058cf5852d38ded7a42d6292f5.png)
BSOMP
![a>b](/media/m/9/3/e/93ec187b4eea9a155615a5025c8701f3.png)
Neka je
![k=\dfrac{a}{b}](/media/m/8/5/d/85d3c8a0e7b1b87db61b0622ae96d304.png)
![k\{nb\}=\{na\}](/media/m/1/2/0/120cdd4750329a1828d82d30fbb6c6a0.png)
Kako je
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
![\{bn\}](/media/m/a/e/2/ae23a2638dc58dddcf273f26bf38a9a3.png)
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
Uzmimo najveću od tih vrjednosti. Neka se ona postiže za
![n=n_1](/media/m/0/3/5/0357c579bdbc2eed1060561c58955e8d.png)
![\{bn_1\} \geqslant \{an_1\}](/media/m/6/4/5/6451ebdebe8a3739ab8dea80aa1bfce3.png)
![\gcd (x,p)=\gcd(y,p)](/media/m/a/b/e/abe4f5fbaad1a734d40c18a3e245c191.png)
Kako je, zbog pretpostavke,
![k > 1](/media/m/e/a/0/ea0d9143b264f0f11e7f6efe66f19a42.png)
![k\{bn_1\} > \{an_1\}](/media/m/a/8/2/a821d532519193668965e80b3e61ddfe.png)
Dakle, jednakost ne vrijedi, pa dva racionalna broja (različita od nula) i međusobno različita ne zadovoljavaju uvjete zadatka.
Pretpostavimo sada da da su i
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
BSOMP
![a>b](/media/m/9/3/e/93ec187b4eea9a155615a5025c8701f3.png)
![k=\dfrac{a}{b}](/media/m/8/5/d/85d3c8a0e7b1b87db61b0622ae96d304.png)
![k\{bn\} =\{an\}](/media/m/4/b/a/4ba5ddb985014231ce1ef341e8ea10b3.png)
Iz dirichletovog principa znamo da
![\{bn\}](/media/m/a/e/2/ae23a2638dc58dddcf273f26bf38a9a3.png)
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
![\exists n](/media/m/6/9/e/69e4460414bf7f5473d78bcb62c0e467.png)
![\{bn\} > \dfrac{b}{a}](/media/m/9/0/d/90dd660c56ceb59919efc7ff3a40f1aa.png)
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
![k\{bn\} > 1](/media/m/b/3/6/b36f658908e2395bef2c93d2f29eb385.png)
![\{an\}<1 \forall n](/media/m/4/b/f/4bff486530b20cd78256e625e0fa8450.png)
Pa jednoakost ne može vrijediti.
Ako je
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
![\{an\}=0](/media/m/3/5/8/3587b35019400ede12d19094fd03c9e9.png)
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
Dakle jedina rje[enja su:
![(0,x), x \in \mathbb{R} \newline (x,x), x \in \mathbb{R} \newline (x,y), x,y \in \mathbb{Z}](/media/m/b/7/c/b7c3020796577deb68709719fef31a54.png)