Školjka

Neka su točke $A_1,A_2, ..., A_{2n}$ vrhovi pravilnog 2n-terokuta. Znamo da dani 2n-terokut možemo prikazati u kompleksnoj ravnini tako što svaki vrh $A_i$ označimo s kompleksnim brojem $a^{i-1}$ gdje je $a^{2n} = 1$. Neka je u permutaciji vrh $P_i$ označen s $a^{p_i}$ gdje je $p_i \in \{0,1,2,..,2n-1\}$\\ Uvjet da bi neke dvije dužine $XY$ i $ZW$ bile paralelne u kompleksnoj ravnini je $\dfrac{x-y}{z-w} \in \mathbb{R}$, odnosno, $\dfrac{x-y}{z-w} = \overline{\dfrac{x-y}{z-w}}$. Promotrimo što bi trebalo vrijediti za neke $x,y,z,w$ da bi $a^x,a^y$ i $a^z,a^w$ bile paralelne dužine.\\ $$\dfrac{a^x-a^y}{a^z-a^w} = \dfrac{\frac{1}{a^x}-\frac{1}{a^y}}{\frac{1}{a^z}-\frac{1}{a^w}}$$ gdje smo iskoristili da je $|a| = 1$. Sređivanjem izraza dobivamo da je $a^{x+y} = a^{y+z}$ odakle slijedi da je $x+y \equiv z+w \pmod{2n}$. \\ Dokažimo sada da u svakoj permutaciji postoje dva para uzastopnih brojeva kojima je suma jedana modulo 2n. Pretpostavimo da postoji permutacija u kojoj takvi brojevi ne postoje. S obzirom da imamo ukupno 2n uzastopnih parova, oni predstavljaju brojeve $\{0,1,2,...,2n-1\} \pmod{2n}$. Ako promotrimo sumu svih tih parova, ona je jednaka $\dfrac{2n(2n-1)}{2} = n(2n-1)$ što očito nije djeljivo s 2n. Ako promotrimo tu sumu kao dvostruku sumu svih parova brojeva, uočavamo da je ta suma jednaka $2\cdot n(2n-1) = 2n(n-1) \equiv 0 \pmod{2n}$ odakle slijedi kontradikcija te naša početna pretpostavka da takva permutacija ne postoji je netočna. Time je dokazano da uvijek možemo naći 2 para brojeva $p_{i},p_{i+1}$ i $p_{j},p_{j+1}$ tako da oni predstavljaju paralelne dužine što smo i trebali dokazati.