Točno
24. ožujka 2018. 20:39 (6 godine, 3 mjeseci)
Find all the functions
![f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}](/media/m/8/7/7/877e4fa97f1e620cb7d1089ce437d7fb.png)
such that
for all
![x,y \in \mathbb{R}](/media/m/e/4/3/e433b19ee9f4a54c51dda325b7bbf3df.png)
.
%V0
Find all the functions $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ such that
$$f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1$$
for all $x,y \in \mathbb{R}$.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Neka je
![c=f(0)](/media/m/f/c/5/fc5dd84c553441aee7d2c4fdbe77df64.png)
i
![S= \{ x| \exists y\in \mathbb{R},f(y)=x\}](/media/m/8/4/b/84b4976f25cd6681408c602a9b66a042.png)
. Pretpostavimo da je
![x \in S](/media/m/4/e/7/4e78c89088ce0d85fec01c71b592100a.png)
i
![f(y)=x](/media/m/4/7/8/478c983a63bccdd5846089b2df2eeab3.png)
. Tada uvrštavanjem
![(x,y)](/media/m/c/9/1/c91aec4078b932368ded863349deaec5.png)
u
![(1)](/media/m/2/5/e/25e5e167a3616378fc4ad422677ae0c4.png)
slijedi
![f(x)=\frac{c+1}{2}-\frac{x^2}{2}, \forall x \in S \ \ \ (2)](/media/m/f/1/a/f1a313e8c9449c2c8ff6a0f31737596f.png)
Uvrštavanjem
![(x,0)](/media/m/b/0/7/b0732f6044f6bae8daabc957ad2c8d39.png)
u
![(1)](/media/m/2/5/e/25e5e167a3616378fc4ad422677ae0c4.png)
dobivamo da je
![f(x-c)-f(x)=cx+f(c)-1,\forall x \in \mathbb{R} \ \ \ (3)](/media/m/9/6/e/96e0ac44ba856b855bb5f98660b3c7b2.png)
Pretpostavimo da je
![c=0](/media/m/2/d/b/2dbeb7e13f74e2630b65db188070a2e4.png)
. Kako je
![c \in S](/media/m/e/7/9/e7955769a942e84a31d6f191fd27054d.png)
je
![2f(c)=c+1-c^2=1=f(0)=c](/media/m/1/b/1/1b11b78c5dc574ee3a957d3fb7f95b49.png)
što je kontradikcija. Dakle
![c \neq 0](/media/m/b/a/d/badc550248e46fce5223b73584f6398a.png)
. Stoga je funkcija
![g(x)=cx+f(c)-1=f(x-c)-f(x)](/media/m/5/8/8/5889ff1603fa8e5c1b80fc7da02adec5.png)
surjekcija pa to
![\forall y \in \mathbb{R}, \exists x\in \mathbb{R}|f(x-c)-f(x)=y](/media/m/0/c/7/0c74cb66a1025322a9f13557b1c8323a.png)
odnosno
![\forall y \in \mathbb{R}, \exists u,v \in S,u-v=y](/media/m/c/f/f/cff1caec59a3cacdf6f0c3cbf5c7188d.png)
.
No tada je zbog
![(1)](/media/m/2/5/e/25e5e167a3616378fc4ad422677ae0c4.png)
i
![(2)](/media/m/6/6/a/66ab623e63546b6c830c0a02c99d5444.png)
![f(y)=f(u-v)=f(v)+uv+f(u)-1=\frac{c+1}{2}-\frac{v^2}{2}+uv+\frac{c+1}{2}-\frac{u^2}{2}-1=c-\frac{(u-v)^2}{2}=c-\frac{y^2}{2}, \forall y\in \mathbb{R} \ \ \ (4)](/media/m/c/1/7/c17a4470883b8bb4959533e62f1563ed.png)
Posebice ako u
![(4)](/media/m/c/f/4/cf4df45e67be7abde86f3c3d169f88dd.png)
vrijedi
![y\in S](/media/m/2/4/8/248a78000e27674e524cef50fe46d185.png)
zbog
![(2)](/media/m/6/6/a/66ab623e63546b6c830c0a02c99d5444.png)
vrijedi
![\frac{c+1}{2}=c](/media/m/9/f/4/9f4c0c240fb183dc87b248fcfea95f4f.png)
odnosno
![c=1](/media/m/5/3/1/5313ca3acd12b72af253c7eaa30226cf.png)
.
Iz
![(4)](/media/m/c/f/4/cf4df45e67be7abde86f3c3d169f88dd.png)
dobivamo da
![f(x)=1-\frac{x^2}{2}, \forall x \in \mathbb{R}](/media/m/a/4/9/a494b9b5aa096175bd214791ec6e43af.png)
što se uvrštavanjem potvrđuje kao rješenje.
%V0 Neka je $c=f(0)$ i $S= \{ x| \exists y\in \mathbb{R},f(y)=x\}$. Pretpostavimo da je $x \in S$ i $f(y)=x$. Tada uvrštavanjem $(x,y)$ u $(1)$ slijedi
$$f(x)=\frac{c+1}{2}-\frac{x^2}{2}, \forall x \in S \ \ \ (2)$$
Uvrštavanjem $(x,0)$ u $(1)$ dobivamo da je
$$f(x-c)-f(x)=cx+f(c)-1,\forall x \in \mathbb{R} \ \ \ (3)$$
Pretpostavimo da je $c=0$. Kako je $c \in S$ je $2f(c)=c+1-c^2=1=f(0)=c$ što je kontradikcija. Dakle $c \neq 0$. Stoga je funkcija $g(x)=cx+f(c)-1=f(x-c)-f(x)$ surjekcija pa to $\forall y \in \mathbb{R}, \exists x\in \mathbb{R}|f(x-c)-f(x)=y$ odnosno $\forall y \in \mathbb{R}, \exists u,v \in S,u-v=y$.
No tada je zbog $(1)$ i $(2)$
$$f(y)=f(u-v)=f(v)+uv+f(u)-1=\frac{c+1}{2}-\frac{v^2}{2}+uv+\frac{c+1}{2}-\frac{u^2}{2}-1=c-\frac{(u-v)^2}{2}=c-\frac{y^2}{2}, \forall y\in \mathbb{R} \ \ \ (4)$$
Posebice ako u $(4)$ vrijedi $y\in S$ zbog $(2)$ vrijedi $\frac{c+1}{2}=c$ odnosno $c=1$.
Iz $(4)$ dobivamo da
$$f(x)=1-\frac{x^2}{2}, \forall x \in \mathbb{R}$$
što se uvrštavanjem potvrđuje kao rješenje.