Školjka

Neka je $X$ presjek kružnica $CSD$ i $BAS$. Kako je $F$ radikalno središte kružnica $ABCD$, $CSD$, i $BAS$, mora se nalaziti na radikalnoj osi kružnica $CSD$ i $BAS$ što je pravac $XS$, odnosno, $X$, $F$ i $S$ su kolinearne. Uočimo da je $\angle CAF = \angle SAB = \angle CAB = \angle CDB = \angle CDS = \angle CXS = \angle CXF$ (sve tvrdnje slijede iz kolinearnosti nekih točaka ili tetivnosti nekih četverokuta), odnosno, četverokut $AXCF$ je tetivan pa je $\angle AFS = \angle ACX$.\\ Definirajmo $Y \equiv (AFCX) \cap DX$ i $E^* \equiv YA \cap (CDY)$. Uočimo sada da po Reimovom teoremu na kružnice $AYFCX,YCDE^*$(točke $Y$ i $F$) vrijedi da je $DE^* \| AF$, a primjenom na kružnice $CSXD, CXAYF$(točke $S$ i $D$) dobivamo da je $DS \| AY$, odnosno, $AY \| DB$, odnosno, $E^*$ je presjek paralele kroz $A$ s $BD$ i paralele kroz $D$ sa $AB$, odnosno, $E^* \equiv E$. Sada znamo da je $C$ centar spiralne sličnosti koja šalje trokut $CDE$ u trokut $CXA$, odnosno, $\angle AFS = \angle ACX = \angle ECD$.