Školjka

Dokažimo prvo da vrijedi $$\sqrt[3]{1+x_1} + \sqrt[3]{1+x_2} + \ldots + \sqrt[3]{1+x_9} \leqslant 18$$ Iz nejednakosti između kubne i aritmetičke sredine slijedi $$\sqrt[3]{1+x_1} + \sqrt[3]{1+x_2} + \ldots + \sqrt[3]{1+x_9} \leqslant 9\sqrt[3]{\frac{x_1+1+x_2+1+\ldots+x_9+1}{9}}=9\sqrt[3]{\frac{9+63}{9}} = 18$$ što je i trebalo dokazati. Za dokaz druge strane, dokažimo prvo jednu pomoćnu lemu: Za nenegativne realne brojeve $x,y$ vrijedi $$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{y+1}\geqslant 1+\sqrt[3]{x+y+1}$$ Napravimo supstituciju $a=\sqrt[3]{x+1}$, $b=\sqrt[3]{y+1}$. Tvrdnja je tada ekvivalentna s $$a+b\geqslant 1+\sqrt[3]{a^3+b^3-1} \iff$$ $$(a+b-1)^3+1 \geqslant a^3+b^3 \iff $$ $$(a+b)((a+b-1)^2-(a+b-1)+1)\geqslant (a+b)(a^2+b^2-ab) \iff $$ $$ a^2+2ab+b^2-2a-2b+1-a-b+2 \geqslant a^2+b^2-ab \iff$$ $$ab+1\geqslant a+b \iff$$ $$(a-1)(b-1)\geqslant 0$$ što vrijedi jer su $a$ i $b$ veći ili jednaki $1$. \\ Uzastopnom primjenom leme dobivamo da vrijedi $$\sqrt[3]{1+x_1} + \sqrt[3]{1+x_2} + \ldots + \sqrt[3]{1+x_9}\geqslant 8+\sqrt[3]{1+x_1+x_2+\ldots+x_9}=8+\sqrt[3]{64}=12$$ što je i trebalo dokazati.