Točno
29. kolovoza 2018. 00:38 (6 godine, 2 mjeseci)
Neka je $n$ prirodni broj. Dokaži da za svaki izbor brojeva $x_1, x_2, \ldots , x_n \in [0, 1]$ vrijedi
$$(x_1 + x_2 + \ldots + x_n + 1)^2 \geqslant 4(x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2)$$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Definirajmo
$$f(x) = x^2 - (x_1+x_2+\ldots+x_n+1)x + (x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2)$$
Primijetimo $$f(0) =x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2 \geqslant 0$$ te $$f(1) = (x_1^2-x_1)+(x_2^2-x_2) + \ldots+ (x_n^2 - x_n) \leqslant 0$$ pa $f$ ima nultočku između $0$ i $1$ pa za diskriminantu vrijedi
$$ (x_1+x_2+\ldots+x_n+1)^2 - 4(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2) \geqslant 0$$
$$ (x_1+x_2+\ldots+x_n+1)^2 \geqslant 4(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2) $$
što je i trebalo pokazati.
Školjka 
prirodni broj. Dokaži da za svaki izbor brojeva ![x_1, x_2, \ldots , x_n \in [0, 1]](/media/m/8/d/6/8d6eb25c1cf531b74f4536b56d1410bb.png)
vrijedi 
Primijetimo 
te 
pa 
ima nultočku između 
i 
pa za diskriminantu vrijedi 
što je i trebalo pokazati.