Solution of task "MEMO 2016 ekipno problem 1" by user "IvanSincic"

Neocijenjeno

Aug. 30, 2018, 12:32 p.m. (6 years, 9 months)

User: IvanSincic
Task: MEMO 2016 ekipno problem 1 (Hide problem text)

Determine all triples $(a, b, c)$ of real numbers satisfying the system of equations $a^2 + ab + c = 0$ $b^2 + bc + a = 0$ $c^2 + ca + b = 0$

Warning: You haven't solved this problem yet.
Click here to display the solution.

Primijetimo najprije da je svaka sljedeća jednadžba dobivena iz prethodne cikličnom rotacijom varijabli $a \rightarrow b \rightarrow c \rightarrow a$ . To znači da kada dobijemo neku jednakost iz jedne ili dvije jednadžbe, smijemo primijeniti ciklični umnožak ili cikličnu sumu na obje strane jer analognu jednakost možemo dobiti iz drugih jednadžba i te jednakosti se mogu množiti i zbrajati.

Iz prve jednadžbe slijedi $a(a+b)=-c$ , pa uzimajući ciklični umnožak ove jednakosti dobivamo: $abc(a+b)(b+c)(a+c) = -abc \iff abc(1+(a+b)(b+c)(a+c)) = 0$ Prvi slučaj - neka od varijabla je jednaka nuli (BSO $a=0$ ): Iz prve jednadžbe dobivamo $c=0$ i onda lagano slijedi $b=0$ te imamo prvo rješenje $(a,b,c) = (0,0,0)$

Drugi slučaj - $a,b,c \neq 0$ : Slijedi $(a+b)(b+c)(a+c) = -1$ . Oduzimajući drugu jednadžbu od prve slijedi $(a-b)(a+b) = (b-1)(c-a)$ te uzimajući ciklični umnožak ove jednakosti dobivamo: $\prod_{cyc} (a+b) \cdot \prod_{cyc} (a-b) = \prod_{cyc} (a-b) \cdot \prod_{cyc} (a-1)$ $\implies 0 = (1 + \prod_{cyc} (a-1)) \prod_{cyc} (a-b)$ Prvi slučaj - neke dvije varijable su jednake (BSO $a=b$ ): Iz jednakosti koju smo dobili kad smo oduzeli drugu jednadžbu od prve slijedi ili $b=1$ (iz čega je onda $a=1$ te lako dobivamo da to nije rješenje) ili ako $b \neq 1$ mora biti $a=c$ pa su sve tri varijable jednake. U tom drugom podslučaju iz prve jednadžbe slijedi $2a^2+a=0$ i kako već imamo $a \neq 0$ dobivamo drugo rješenje zadatka $(a,b,c) = (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ .

Drugi slučaj - nikoje dvije varijable nisu međusobno jednake: Slijedi $(a-1)(b-1)(c-1) = -1$ . Prva jednadžba se također može zapisati kao $a(a+b+c) = c(a-1)$ , pa uzimajući ciklični umnožak te jednakosti dobivamo: $abc(a+b+c)^3 = abc(a-1)(b-1)(c-1) \implies (a+b+c)^3 = -1 \implies a+b+c=-1$ Koristeći dobivenu tvrdnju u preuređenoj prvoj jednadžbi koju smo upravo iskoristili dobivamo $c-a = ac$ te analogno zbog cikličnosti iz drugih jednadžba slijedi $a-b = ba,\ b-c = cb$ . Te tri jednakosti se također mogu zapisati kao: $bc-ab = abc$ $ac-bc = abc$ $ab-ac = abc$ Zbrajajući ih dobivamo $0 = 3abc$ što je u kontradikciji s time da su sve tri varijable različite od $0$ pa su jedina rješenja $(a,b,c) = (0,0,0), (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ .

Primijetimo najprije da je svaka sljedeća jednadžba dobivena iz prethodne cikličnom rotacijom varijabli $a \rightarrow b \rightarrow c \rightarrow a$. To znači da kada dobijemo neku jednakost iz jedne ili dvije jednadžbe, smijemo primijeniti ciklični umnožak ili cikličnu sumu na obje strane jer analognu jednakost možemo dobiti iz drugih jednadžba i te jednakosti se mogu množiti i zbrajati. Iz prve jednadžbe slijedi $a(a+b)=-c$, pa uzimajući ciklični umnožak ove jednakosti dobivamo: \[abc(a+b)(b+c)(a+c) = -abc \iff abc(1+(a+b)(b+c)(a+c)) = 0\] Prvi slučaj - neka od varijabla je jednaka nuli (BSO $a=0$): Iz prve jednadžbe dobivamo $c=0$ i onda lagano slijedi $b=0$ te imamo prvo rješenje $(a,b,c) = (0,0,0)$ Drugi slučaj - $a,b,c \neq 0$: Slijedi $(a+b)(b+c)(a+c) = -1$. Oduzimajući drugu jednadžbu od prve slijedi $(a-b)(a+b) = (b-1)(c-a)$ te uzimajući ciklični umnožak ove jednakosti dobivamo: \[\prod_{cyc} (a+b) \cdot \prod_{cyc} (a-b) = \prod_{cyc} (a-b) \cdot \prod_{cyc} (a-1)\] \[\implies 0 = (1 + \prod_{cyc} (a-1)) \prod_{cyc} (a-b)\] Prvi slučaj - neke dvije varijable su jednake (BSO $a=b$): Iz jednakosti koju smo dobili kad smo oduzeli drugu jednadžbu od prve slijedi ili $b=1$ (iz čega je onda $a=1$ te lako dobivamo da to nije rješenje) ili ako $b \neq 1$ mora biti $a=c$ pa su sve tri varijable jednake. U tom drugom podslučaju iz prve jednadžbe slijedi $2a^2+a=0$ i kako već imamo $a \neq 0$ dobivamo drugo rješenje zadatka $(a,b,c) = (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$. Drugi slučaj - nikoje dvije varijable nisu međusobno jednake: Slijedi $(a-1)(b-1)(c-1) = -1$. Prva jednadžba se također može zapisati kao $a(a+b+c) = c(a-1)$, pa uzimajući ciklični umnožak te jednakosti dobivamo: \[abc(a+b+c)^3 = abc(a-1)(b-1)(c-1) \implies (a+b+c)^3 = -1 \implies a+b+c=-1\] Koristeći dobivenu tvrdnju u preuređenoj prvoj jednadžbi koju smo upravo iskoristili dobivamo $c-a = ac$ te analogno zbog cikličnosti iz drugih jednadžba slijedi $a-b = ba,\ b-c = cb$. Te tri jednakosti se također mogu zapisati kao: \[bc-ab = abc\] \[ac-bc = abc\] \[ab-ac = abc\] Zbrajajući ih dobivamo $0 = 3abc$ što je u kontradikciji s time da su sve tri varijable različite od $0$ pa su jedina rješenja $(a,b,c) = (0,0,0), (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$.

Školjka