Neka je konveksan četverokut takav da
nije paralelno s
. Neka je
presjek njegovih dijagonala, a
presjek pravaca
i
. Pretpostavimo da u unutrašnjosti
postoji točka
takva da njezine projekcije na stranice
čine pravokutnik. Neka je opisana kružnica tog pravokutnika
.
i
su sjecišta
s
i
, redom.
je presjek tangenta na
u
i
. Dokažite da
leži na pravcu
.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Oznacimo vrhove pravokutnika sa ,
,
I
tako da
lezi na
,
na
,
na
i
na
.
Laganim angle chasom dobijemo pa
ima izogonalnu konjugatu s obzirom na cetverokut
, oznacimo tu točku sa
.
Imamo . Analogno dobijemo
pa vrijedi
.
Uocimo da su i E takoder izogonalne konjugate u
.
S obzirom da u svakom trokutu vrijedi da su projekcije izogonalnih konjugata na stranice trokuta konciklicne, imamo da su i
zapravo projekcije tocke
na
i
pa
i
pa
takoder lezi na
i
.
Sada imamo da je tetivan i promjer kružnice je
.
Iz imamo
(ovdje pretpostavljamo
, ali drugi slučaj se rjesi analogno), no iz toga sto su
i
tangente iz G na k imamo
.
Slijedi da je središte kruznice opisane cetverokutu
tj.
,
i
su kolinearne.