Školjka

Zbog nejednakosti trokuta svi su nazivnici lijeve strane pozitivni. Koristeći lemu \(\frac{1}{1+x} = \int_0^1 t^x dt\) koja vrijedi za sve \(x > -1\), vidimo da je dana nejednakost ekvivalentna s \[\sum_{cyc} \int_0^1 t^{b+c-a-1} dt \geq \sum_{cyc} \int_0^1 t^{a-1} dt\] Uvedemo li supstituciju \(x = t^{a-1},y=t^{b-1},z=t^{c-1}\), dovoljno je pokazati da vrijedi \(\sum_{cyc} \frac{yz}{x} \geq \sum_{cyc} x\) za sve \(x,y,z > 0\) što slijedi iz \[\frac{yz}{x} + \frac{xy}{z} \overset{AG}{\geq} 2y,\ \ \ \frac{xz}{y} + \frac{yz}{x} \geq 2z\ \ \ \frac{xy}{z}+\frac{xz}{y} \geq 2x\]