Školjka

%V0 Iz zadanog uvjeta imamo: $f(x) \geq 2xy - f(y)$ za sve $y \in \mathbb{R}$ Uvrštavamo $y = x$: $f(x) \geq x^2$ Uvodimo supstituciju $f(x) = x^2 + g(x)$, $g(x) \geq 0$: $\displaystyle g(x) + x^2 = \max_{y \in \mathbb{R}}{\left( 2xy - y^2 - g(y) \right)}$ $\displaystyle g(x) = \max_{y \in \mathbb{R}}{\left( -(x - y)^2 - g(y) \right)} \leq 0$ Sada imamo $0 \leq g(x) \leq 0$, pa je $g(x) = 0$ za svaki $x$. Konačno, $f(x) = x^2 \quad \forall x \in \mathbb{R}$.