Rješenja zadatka "Državno natjecanje 1996 SŠ3 1" korisnika "zjurelinac"

Netočno

19. travnja 2012. 15:04 (12 godine, 7 mjeseci)

Korisnik: zjurelinac
Zadatak: Državno natjecanje 1996 SŠ3 1 (Sakrij tekst zadatka)

Dokažite da za svaki $x \in \mathbb{R}$ vrijedi nejednakost

$\sin^5 x + \cos^5 x + \sin^4 x \leq 2.$
Kada vrijedi jednakost?

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

Budući da je $\sin{x}$ uvijek $\leq 1$ , i $\cos{x}$ uvijek $\leq 1$ očito vrijede ove tvrdnje:

1. $\sin^5{x} \leq \sin^2{x}$
2. $\cos^5{x} \leq \cos^2{x}$
3. $\sin^4{x} \leq \sin^2{x}$
4. $\sin^2{x} \leq 1$

Tada za lijevu stranu početne nejednakosti vrijedi ( uz korištenje $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ):

$\sin^5 x + \cos^5 x + \sin^4 x \leq \sin^2 x + \cos^2 x + \sin^2 x = 1 + \sin^2 x \leq 1 + 1 = 2$ , čime je početna nejednakost dokazana. $\blacksquare$

Ocjene: (1)

Komentari:

ikicic, 20. svibnja 2014. 20:59

Fali ti i slučaj kada su sinusi ili kosinusi manji od $0$ . No, generalno je ok.

zjurelinac, 20. travnja 2012. 20:13

lol zaboravio sam na to

mljulj, 19. travnja 2012. 15:56

Ajde još samo napiši kada vrijedi jednakost, pa da ti bude u potpunosti točan zadatak.

Školjka

Ocjene: (1)

Komentari: