Školjka

Prije svega, uočimo da nećemo baš tako jednostavno pristupiti zadatku kao standardnoj jednadžbi. Naime, imamo nehomogenu jednadžbu pa stvari poput faktorizacija neće upaliti. Uočimo da je jednadžba zadana u prirodnim brojevima. Prirodni brojevi se razlikuju od realnih po tome što na njima možemo uvesti relaciju dijeljenja i uz pomoć djeljivosti rješavati zadatke. Tako imamo da $x_1$ dijeli desnu stranu jednadžbe pa mora dijeliti i lijevu stranu, odnosno, \[x_1 \mid 1 + x_1 + 2x_1x_2 + \cdots + (n-1)x_1 x_2\cdots x_{n-1},\] to jest, \[x_1 \mid 1 + x_1(1 + 2x_2 + \cdots + (n-1)x_2\cdots x_{n-1}) \implies x_1 \mid 1 \implies x_1 = 1.\] Kada to uvrstimo nazad u početnu jednadžbu, dobivamo \[1 + 1 + 2x_2 + \cdots + (n-1)x_2\cdots x_{n-1} = x_2x_3 \cdots x_n. \] Istim načinom zaključivanja, dobivamo da $x_2 \mid 2$, a kako $x_2 \neq x_1 = 1$, vrijedi $x_2 = 2$. Nastavljanjem istog postupka (raspišite si za $x_3$ i argumentirajte zašto uvijek ispada $x_i = i$) dobivamo da je $x_j = j$ za svaki prirodni broj $j$ iz $\{1,2,\ldots,n\}$.