Rješenja zadatka "Državno natjecanje iz matematike 2018, SŠ1 A 4" korisnika "11235"

Točno

21. listopada 2020. 23:06 (4 godine, 2 mjeseci)

Korisnik: 11235
Zadatak: Državno natjecanje iz matematike 2018, SŠ1 A 4 (Sakrij tekst zadatka)

U trokutu $ABC$ je $|\angle {CAB}| = 2|\angle {ABC}|$ . Točka $D$ nalazi se unutar trokuta $ABC$ , a pritom vrijedi $|AD| = |BD|$ i $|CD| = |AC|$ . Dokaži da je $|\angle {ACB}| = 3|\angle {DCB}|$ .

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

Obilježimo sa $M$ sjecište simetrale kuta $\angle CAB$ sa opisanom kružnicom $\Omega$ trokuta $\triangle ABC$ .
Primjetimo da je zbog $\angle CMA=\angle CBA = \beta = \angle BAM$ te je stoga $CM \parallel AB$ , odnisno $ABMC$ je jednakokračni trapez.
Primjetimo da mora biti $CD=MD$ jer navedene dužine imaju istu simetralu, te $CM=AC$ jer su im pripadni obodni kutevi isti. Konačno se dobiva $CD=AC=CM$ , te je $\triangle CDM$ jednakostraničan, a laganim chaseom se dovrši zadatak

Školjka

Ocjene: (1)