Školjka

%V0 $\textbf{Prvo rješenje}$ Uvedimo supstituciju $x=1-a,y=1-b,z=1-c$. Vrijedi $0 \leq x,y,z \leq 1$ i tvrdnja postaje $$(1-x)^2 + (1-y)^2+(1-z)^2 \leq (1-x)^2(1-y)+(1-y)^2(1-z)+(1-z)^2(1-x)+ (1-x)(1-y)(1-z)$$. $$\iff x+y+z+x^2y+y^2z+z^2x\leq1+2xy+2yz+2xz$$ Primijetimo da vrijedi $(1-x)(1-y)(1-z)\geq0$ što implicira $1+xy+yz+xz\geq x+y+z+xyz$. Ako toj nejednakosti dodamo $xy+yz+xz$ na svaku stranu, dobivamo da vrijedi $$1+2xy+2yz+2xz\geq x+y+z+xy+yz+xz+xyz$$. Ostaje nam pokazati da vrijedi $$xy+yz+xz+xyz\geq x^2y+y^2z+z^2x$$, ali to je očito zbog $xy\geq x^2y,\ yz\geq y^2z,\ xz\geq z^2x$. $\textbf{Drugo rješenje}$ Vidimo da vrijedi $(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)\geq 0$ iz čega slijedi $$1+a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 \geq a^2+b^2+c^2+a^2b^2c^2$$. Dovoljno je pokazati $1+a^2b+b^2c+c^2a \geq 1+a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2$ što je očito zbog $a^2b \geq a^2b^2,\ b^2c \geq b^2c^2,\ c^2a \geq a^2c^2$.