Rješenja zadatka "2. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 1" korisnika "11235"

Točno

23. listopada 2020. 14:47 (4 godine, 1 mjesec)

Korisnik: 11235
Zadatak: 2. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 1 (Sakrij tekst zadatka)

Postoje li $3$ prirodna broja veća od $2^{2020}$ sa svojstvom da kada umnošku bilo koja $2$ ta broja dodamo $1$ dobijemo potpuni kvadrat?

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

Odgovor je da, postoje takvi brojevi.
Dokazat ćemo da je $(a, b, c)=(2^k-1, 2^k+1, 2^{k+2})$ dobra trojka za svaki prirodni $k$ .
Zaista, imamo:

$ab+1=2^{2k}-1+1=(2^k)^2$

$bc+1=2^{2k+2}+2*2^{k+1}+1=(2^{k+1}+1)^2$

$ac+1=2^{2k+2}-2*2^{k+1}+1=(2^{k+1}-1)^2$ , te je zadatak riješen.

Konkretno, možemo uzeti $a=2^{2021}-1>2^{2020}, b=2^{2021}+1, c=2^{2023}$

Napomena: Smatram da je najteži dio zadatka bilo pogoditi odgovor, a konstrukcija je bila motivirana malim primjerima $(1, 3, 8)$ i $(3, 5, 16)$

Školjka