Školjka

Tvrdimo da je odgovor da. Promotrimo bilo koja $2$ prirodna broja oblika $a+1$ i $a-1$. Pokušajmo pronaći broj $k$ takav da su $(a+1)k+1=ak+k+1$ i $(a-1)k+1=ak-k+1$ potpuni kvadrati. Ako to uspijemo tražena trojka brojeva bit će $(a-1, a+1, k)$, budući da je $(a-1)(a+1)+1=a^2$ već potpun kvadrat. Namjestit ćemo da $k$ bude srednji član u raspisu nekog kvadrata zbroja $(m+1)^2 = m^2+2m+1$, odnosno kvadrata razlike $(m-1)^2 = m^2-2m+1$. Uzmimo da je $k$ oblika $k=2b$ gdje je $b \in \mathbb{N}$. Sada nam izrazi glase $2ab+2b+1$ i $2ab-2b+1$. Želimo da broj $2ab$ bude kvadrat pa stavimo $b=2c$. Dakle, imamo $4ac+4c+1$ i $4ac-4c+1.$ %Sada nam izrazi glase $2ab+2b+1$ i $2ab-2b+1$, no prirodan broj ispred $a$ bi trebao biti kvadrat pa je $b=2c$. Dakle, imamo $4as+4s+1$ i $4as-4s+1.$\\\\ Ako još uvrstimo $c=a$ dobit ćemo $2$ potpuna kvadrata $(2a+1)^2$ i $(2a-1)^2$. Dakle, sve trojke oblika ${a-1,a+1, 4a }$ zadovoljavaju uvjet. Odaberemo li, primjerice, $a = 2^{2021}$, tri broja $2^{2021}-1$, $2^{2021}+1$, $2^{2023}$ su svi veći od $2^{2020}$ i zadovoljavaju uvjet, čime smo dokazali da takvi brojevi postoje.