Školjka

Polinom ima $2020$ nultočaka pa ga možemo zapisati u obliku $$ P(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_{2020}), $$ gdje su $a_1,...,a_{2020}$ njegove nultočke. Vrijedi $$P(x^2-1) = (x^2-1-a_1)(x^2-1-a_2)...(x^2-1-a_{2020}),$$ svaka zagrada u ovom polinomu je polinom koji ima ili $2$ realne ili $2$ kompleksne nultočke. Budući da $P(x^2-1)$ ima $3400$ realnih nultočaka, za $1700$ brojeva $a_i$ vrijedi $1+a_i \geq 0 $, odnosno $ a_i \geq -1$. Analogno, $$P(1-x^2) = (1-x^2-a_1)(1-x^2-a_2)\cdots (1-x^2-a_{2020}),$$ pa za barem $1350$ brojeva $a_i$ vrijedi $a_i \leq 1$. Kako $P(x)$ ima najviše $2020$ realnih nultočaka, postoji najviše $2020$ realnih brojeva $a_{i}, i \in \{1, 2, ..., 2020\}$, od kojih za barem $1700$ vrijedi $a_{i} \ge -1$ te za barem $1350$ vrijedi $a_{i} \le 1$. Tada se lako dokaže da među tim brojevima postoji najmanje $1030$ brojeva za koje vrijedi $-1 \le a_{i} \le 1$. Interval $[-1,1]$ možemo podijeliti u $1000$ jednakih podintervala, razlika bilo koja $2$ elementa u nekom podintervalima je $\leq 2/1000 = 0.002$, a po Dirichletovom principu znamo da barem $2$ nultočke leže u istom podintervalu.