Školjka

Kako bi zadani izraz bio prirodan broj, broj $2^{p^2-q^2}-1$ mora biti prirodan pa je i $p > q$. Budući da je tada $2^{p^2-q^2}-1$ neparan, $p$ i $q$ moraju biti različiti od $2$. Sada, budući da su $p$ i $q$ različiti i neparni, vrijedi $p^2-q^2 \equiv 0 \pmod{8}$. Isto tako, ako je $q > 3$, vrijedi $p^2-q^2 \equiv 0 \ (mod \ 3) $, pa sada možemo pisati $$ 2^{p^2-q^2}-1 = 2^{24k}-1 $$ Broj $2^{24k}-1$ djeljiv je sa $2^{24}-1$, što je djeljivo sa $3,5,7$ i $13$ pa očito vrijedi $q=3$. Sada želimo da $$ \dfrac{2^{p^2-9}-1}{3p} $$ bude umnožak točno $2$ prosta broja. Budući da je $p^2-9 \equiv 0 \ (mod \ 8) $, zapišemo početni izraz kao: $$ \dfrac{2^{p^2-9}-1}{3p} = \dfrac{2^{8k}-1}{3p} = \dfrac{(2^k-1)(2^k+1)(2^{2k}+1)(2^{4k}+1)}{3p} $$ Lagano je provjeriti da je $k \geq 2$. Ako je $k$ paran, onda $3|(2^k-1)$ i ako je $k>2$, onda je $2^k-1=3n$ za neki prirodan broj $n>1$, ali onda je $$\dfrac{n(2^k+1)(2^{2k}+1)(2^{4k}+1)}{p} $$ umnožak barem $3$ prosta broja što je u kontradikciji s pretpostavkom. Za $k=2$ dobivamo $p=5$, što zadovoljava uvjet zadatka. Ako je $k$ neparan, vrijedi $3|(2^k+1)$ pa je $2^k+1=3n$ za neki prirodan broj $n>1$, no onda je $$ \dfrac{n(2^k-1)(2^{2k}+1)(2^{4k}+1)}{p} $$ ponovno umnožak barem $3$ prosta broja. Dakle, jedino rješenje je $(p,q)=(5,3)$.