Neocijenjeno
24. listopada 2020. 09:34 (4 godine)
Sakrij rješenje
Tetive $\overline{BC}$ i $\overline{DE}$ kružnice $w$ sijeku se u $A$. Pravac kroz $D$ paralelan sa $\overline{BC}$ siječe $w$ ponovno u $F$, a $\overline{FA}$ siječe $w$ ponovno u $T$. Neka je $M$ presjek $\overline {ET}$ i $\overline{BC}$, te neka je $N$ preslika $A$ preko $M$. Pokaži da se polovište dužine $\overline{BC}$ nalazi na kružnici opisanoj $\triangle DEN$.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Neka je $K$ polovište $\overline{BC}$ i $A_1$ refleksija $A$ preko $K$.
Uočimo kako je $F$ refleksija $D$ preko simetrale $BC$ iz čega slijedi da je $DFA_1A$ jednakokračan trapez. Odavde:
$$|\angle MED|= |\angle TED|= |\angle TFD|= |\angle AFD|= |\angle AA_1D|= |\angle MA_1D|$$
Iz čega zaključujemo da je $MDA_1E$ tetivan.
Sada po potenciji točke imamo
$$|AD| \cdot |AE|=|AM| \cdot |AA_1|=2|AM| \cdot |AK|=|AN| \cdot |AK|.$$
Stoga je $DKEN$ tetivan, što je trebalo dokazati.
Školjka 
i 
kružnice 
sijeku se u 
. Pravac kroz 
paralelan sa 
, a 
siječe 
. Neka je 
presjek 
i 
preslika 
. 
polovište 
refleksija 
iz čega slijedi da je 
jednakokračan trapez. Odavde: 
Iz čega zaključujemo da je 
tetivan.
Stoga je 
tetivan, što je trebalo dokazati.