Školjka

Pokušat ćemo svaki izraz $\Bigl\lfloor\dfrac{2^n}{3}\Bigr\rfloor$ zapisati kao razlomak bez neugodnih zagrada, takvim postupkom bi nam se neke varijable mogle pokratiti. Primijetimo da: $$ 2^{2k} \equiv 1 \pmod{3} $$ $$2^{2k+1} \equiv 2 \pmod{3}$$ Ovo znači da $\Bigl\lfloor\dfrac{2^{2k}}{3}\Bigr\rfloor = \dfrac{2^{2k}-1}{3}$ i $\Bigl\lfloor\dfrac{2^{2k+1}}{3}\Bigr\rfloor = \dfrac{2^{2k+1}-2}{3}$ \\ \\ Naša suma se zapravo pretvara u $$ \sum_{i=0}^{2020} \Bigl\lfloor\dfrac{2^i}{3}\Bigr\rfloor = 0 + \sum_{i=1}^{1010} \Big{(} \dfrac{2^{2i-1}-1}{3} + \dfrac{2^{2i}-2}{3} \Big{)} = \dfrac{1}{3} \Big{(} \sum_{i=1}^{2020} 2^{i}\Big{)} -1010$$ $$ = \dfrac{1}{3}(2^{2021}-2)-1010$$