Školjka

Naša nejednakost je ekvivalentna s $$a^2(1-b)+b^2(1-c)+c^2(1-a) \leq 1$$ Iskoristimo uvjet $a \leq 1$ tj. $a^2 \leq a$, pa sada imamo: $$a^2(1-b)+b^2(1-c)+c^2(1-a) \leq a(1-b)+b(1-c)+c(1-a) $$ Primijetimo sada da: \begin{align*} a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)&=a+b+c-ab-bc-ac\\ &=1-(1-a-b-c+ab+bc+ac-abc)-abc\\ &=1-(1-a)(1-b)(1-c)-abc. \end{align*} Zbog toga što vrijedi $1-a \geq 0$ i $abc \geq 0$ slijedi $$1-(1-a)(1-b)(1-c)-abc \leq 1$$ čime smo dokazali nejednakost. \\ \\ Bitno je primijetiti da se jednakost postiže za $a=b=1$ i $c=0$.