Školjka

Pretpostavimo da $S$ nije prazan skup, dakle postoji neki $x \in S$. Tada znamo da je i $$\dfrac{x+x}{M(x,x)}=\dfrac{2x}{x}=2 \in S$$ Dokazat ćemo da je svaki element skupa $S$ paran. Pretpostavimo suprotno: postoji neki neparni broj $y\in S$. Zapišimo ga kao $y=2m+1,m\in \mathbb{N}$. Tada vrijedi $$ \dfrac{2m+1+2}{M(2m+1,1)}=\dfrac{2m+3}{1}=2m+3 \in S.$$ Jasno je da ovaj postupak možemo ponoviti beskonačno puta, dakle $S$ nije konačan skup. Došli smo do kontradikcije, pa su svi brojevi u $S$ parni. \\ \\Neka je $x=2m, m\in \mathbb{N}, m>1$ najmanji broj u $S$, no tada je i $$\dfrac{2m+2}{M(2m,2)}=\dfrac{2(m+1)}{2}=m+1 \in S.$$ Kako je $2m>m+1$ to nam daje kontradikciju s minimalnošću broja $x$ pa je jedino rješenje $S=\{ 2 \}$.