Školjka

Koristeći Vieteove formule dobivamo da je dovoljno pokazati da su izrazi $$\alpha+\beta+\gamma, \ \alpha \beta+\beta \gamma+\alpha \gamma,\ \alpha \beta \gamma $$ cijeli brojevi. Uvedimo supstituciju $a=\alpha,b=\beta,c=\gamma$. \\ Označimo $p=a+b+c,\ q=ab+bc+ac,\ r=abc$ \\ \\$k=1\implies p\in\mathbb{Z}$ \\$k=2\implies p^2+2q\in\mathbb{Z}\implies 2q\in\mathbb{Z}$, pa je $q=\frac{t}{2}$, $t \in \mathbb{Z}$ \\$k=3\implies 3r-3pq\in\mathbb{Z}\implies 12pr-12p^2q\in\mathbb{Z}$ \\$k=4\implies q-4pr\in\mathbb{Z}\implies 3q-12pr\in\mathbb{Z}$ \\ \\Zbrajanjem zadnja $2$ izraza dobivamo $-12p^2q+3q\in\mathbb{Z}$ tj. $$\dfrac{t}{2} (3-12p^2)$$ je cijeli broj. Budući da je $(3-12p^2)$ uvijek neparan, $t$ mora biti uvijek paran, odnosno $q \in \mathbb{Z}$. \\ \\Sada još trebamo pokazati $r \in \mathbb{Z} $. $k=3\implies 3r\in\mathbb{Z}$, pa je $r=\frac{l}{3}$, $l\in\mathbb{Z}$\\ $k=4\implies 4pr\in\mathbb{Z}\implies pr\in\mathbb{Z}$\\ $k=6\implies 3r^2+pr(p^2-3q)\in\mathbb{Z}\implies 3r^2\in\mathbb{Z}$ \\ \\Dakle, sada znamo $\dfrac{l^2}{3}\in\mathbb{Z}$, pa $3\mid l$, pa je $r \in \mathbb{Z}$ čime smo gotovi sa zadatkom.