Školjka

Dokazat ćemo nejednakost $$ \sqrt[n]{x^{n}+y^{n}} \leq (\sqrt[n]{2}-1) x+y, \forall n \in \mathbb{N}.$$ Zapišimo nejednakost kao $$\sqrt[n]{x^{n}+y^{n}} \leq \sqrt[n]{2}x+(y-x).$$ Iz uvjeta zadatka znamo da je $y-x \geq 0$. Sada ćemo cijelu nejednakost podići na $n$-tu potenciju. \[ x^{n}+y^{n} \leq \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (\sqrt[n]{2})^{k}x^{k}(y-x)^{n-k} = 2x^{n}+\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (\sqrt[n]{2})^{k}x^{k}(y-x)^{n-k} \] $$\iff$$ \[ y^{n} \leq x^{n}+\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (\sqrt[n]{2})^{k}x^{k}(y-x)^{n-k} \] Primijetimo da je $(\sqrt[n]{2})^{k}>1$ za sve prirodne $n$ i $k$. Zbog toga je $$RHS \geq \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{k}(y-x)^{n-k} = (x+(y-x))^n = y^n,$$ gdje se jednakost postiže ako je $x=y$, što su uistinu sva rješenja jednadžbe.