Školjka

Tvrdimo da je odgovor da. Konstruirat ćemo takav niz. \\ Uzmimo bilo koji aritmetički niz prirodnih brojeva $a_1,\dots,a_{2020}$ razlike $d>0$. Primijetimo da je i $(Ta_1,\dots,Ta_{2020})$ aritmetički niz prirodnih brojeva za bilo koji $T \in \mathbb{N}$. \\ Tražimo $T$ oblika $T=a_1^{\alpha_1}\cdots a_{2020}^{\alpha_{2020}}$. Neka je $b_i=Ta_i$. Tada $b_i = a_i\prod_{j=1}^{2020}a_j^{\alpha_j}$. \\ Sada ćemo odrediti eksponente $\alpha_i$. Neka su $q_1<q_2<\cdots<q_{2020}$ fiksni prosti brojevi. Za svaki $1\leqslant i\leqslant 2020$, $\alpha_i\equiv -1\pmod{q_i}$. Za svaki $j\neq i$, $\alpha_j\equiv 0\pmod{q_i}$. \\ Po Kineskom teoremu o ostacima, takvi brojevi zaista postoje. \\ Konačno, dobivamo da je $b_i$ $q_i$-ta potencija prirodnog broja za svaki $i$, čime završavamo konstrukciju.