Neka je središte kružnice opisane . Neka je kružnica proizvoljna takva da prolazi kroz i . Neka su i redom presjeci pravaca i s unutar . Okomice iz i redom na stranice i sijeku se u . Dokaži da su točke i kolinearne.
Neka je $O$ središte kružnice opisane $\triangle ABC$. Neka je kružnica $\Omega$ proizvoljna takva da prolazi kroz $B$ i $C$. Neka su $D$ i $E$ redom presjeci pravaca $BO$ i $CO$ s $\Omega$ unutar $\triangle ABC$. Okomice iz $D$ i $E$ redom na stranice $AB$ i $AC$ sijeku se u $M$. Dokaži da su točke $A, M$ i $O$ kolinearne.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili! Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Neka kružnica siječe i redom u i . Neka je . Tada vrijedi , dakle su kolinearne. Analogno dobijemo da su kolinearne, pa je ortocentar trokuta . Iz toga znamo . Kako je tetivan, lako dobijemo , iz čega slijedi , dakle točke su kolinearne, što je trebalo dokazati.
Neka kružnica $\Omega$ siječe $AB$ i $AC$ redom u $F$ i $G$. \\ Neka je $E' = EF \cap BC$. Tada vrijedi $\angle E'FG=\angle ACO=90^{\circ}-B$ $\implies$ $\overline{EFE'}$ $\perp$ $AC$ $\implies$ $E'$ $\equiv$ $E_1$, dakle $E,F,E_1$ su kolinearne. Analogno dobijemo da su $D_1,G,D$ kolinearne, pa je $M$ ortocentar trokuta $\Delta AGF$. \\ Iz toga znamo $AM \perp FG$. Kako je $FGBC$ tetivan, lako dobijemo $\angle GFA = \angle ACB = 90^\circ - \angle FAO $, iz čega slijedi $AO \perp FG$, dakle točke $A,M,O$ su kolinearne, što je trebalo dokazati.
Školjka 
središte kružnice opisane 
. Neka je kružnica 
proizvoljna takva da prolazi kroz 
i 
. Neka su 
i 
redom presjeci pravaca 
i 
s 
i 
sijeku se u 
. Dokaži da su točke 
i 
i 
. 
. Tada vrijedi 
, dakle 
su kolinearne. Analogno dobijemo da su 
kolinearne, pa je 
. 
. Kako je 
tetivan, lako dobijemo 
, iz čega slijedi 
, dakle točke 
su kolinearne, što je trebalo dokazati.