Školjka

Neka je $S={AD}\cap{BC}$. Lagano se pokaže da su zbog ovih omjera $S,K,L$ kolinearne. Neka je $Q'$ drugi presjek kružnice $BPC$ i $KL$, te neka leži na dužini $KL$. $\bold{1}$: $\triangle APK \sim \triangle LCQ'$\\ Vrijedi $\angle AKP=\angle CLQ'$ (presječnica 2 paralelna pravca). Nadalje, \[\angle APK = \angle APB-\angle KPB = \angle BCD - \angle BCQ' = \angle LCQ'\], te su po KK poučku ta 2 trokuta slična. \\ $\bold{2}$: $\triangle DLQ' \sim \triangle PKB$\\ Opet vrijedi $\angle DLQ' = \angle PKB$. Vrijedi sljedeći niz ekvivalencija:\\ \[\frac{DL}{LQ'}=\frac{PK}{KB} \leftrightarrow DL*KB=LQ'*PK \leftrightarrow CL*AK=LQ'*PK \leftrightarrow \frac{AK}{PK}=\frac{LQ'}{CL}\] ,no zadnja jednakost je istinita zbog prethodno navedene sličnosti i tvrdnja je dokazana jer su navedeni trokuti slični po SKS poučku. \\ Konačno, $\angle DQ'C=\angle DQ'L+\angle LQ'C=\angle KBP+\angle PBC=\angle ABC$ pa je $Q' \equiv Q$ (postoji najviše 1 točka na dužini $KL$ takva da $\angle DQC=\beta$)