Neka
označava uvrštavanje
i
u početnu jednadžbu:
![P(0,0): f(0)^2=2f(0)](/media/m/4/e/8/4e858ca5a82147e47e2a45382e2582fb.png)
Ako
,
daje
, što nije rješenje, zbog čega ![f(0)=0](/media/m/2/9/7/297be37ff10e3b2aa5ab3d32c2202c49.png)
(
)
![P(1,1): f(2)+f(1)^2=5f(1) (**)](/media/m/c/f/7/cf78766d3b3570be4f431eec572c231e.png)
![P(-1,1): f(1)f(-1)=f(-1)+2f(-1)=3f(-1)](/media/m/b/9/d/b9da595e981c4ecc1c51567cfe88e649.png)
Ako
što je stvarno rješenje, zato nadalje neka je ![f(-1)=0](/media/m/d/2/e/d2ee3bbd8844a8074f743a699ec56ab9.png)
![P(x,-1): f(x-1)=f(-x)](/media/m/b/a/1/ba11869ab3a08b56bfcdfc3e265e19fd.png)
Sad, iz
i
imamo 4 mogućnosti:
a)![f(1)=2,f(2)=6](/media/m/3/a/3/3a3b912bd554b3ecc025cf5e80273d00.png)
b)![f(1)=3,f(2)=6](/media/m/e/8/5/e85f3594d077debae190d411b70105e6.png)
c)![f(1)=0,f(2)=0](/media/m/4/6/a/46ad6cfed4c630c1afb832d7b1b86097.png)
d)![f(1)=5,f(2)=0](/media/m/c/4/b/c4b7929e7e878853a7355cd972a0bc07.png)
za b) slučaj
daje
, ali to ne vrijedi za
, pa nema rješenja ovdje
za d) slučaj
daje
što očito ne vrijedi
za c) slučaj
, iz čega lagano dobijamo
što je rješenje.
ostao je još samo a) slučaj
daje ![f(x)=f(x-1)+2x...(1)](/media/m/c/5/2/c5294a049c5aebba4bb0ae384c074b03.png)
sada, usporedbom
i
te korištenjem
dobivamo
, odnosno
, što je isto rješenje.
Sva rješenja su sada dana sa:
![f(x)=0](/media/m/2/8/b/28b89267a12309d26a71f117db6b035c.png)
![f(x)=3x](/media/m/2/8/a/28ac00fe891864125998441d9c714e1e.png)
![f(x)=x^2+x](/media/m/2/3/e/23e0fcf0bd933a14d2b64961462f703e.png)
Provjerom se vidi da sve funkcije iznad zadovoljavaju.
Neka $P(x,y)$ označava uvrštavanje $x$ i $y$ u početnu jednadžbu:\\
$P(0,0): f(0)^2=2f(0)$\\
Ako $f(0)=2$, $P(x,0)$ daje $f(x)=x+2$, što nije rješenje, zbog čega $f(0)=0$\\
$P(2,2): f(2)^2=6f(2)$ ($*$)\\
$P(1,1): f(2)+f(1)^2=5f(1) (**)$\\
$P(-1,1): f(1)f(-1)=f(-1)+2f(-1)=3f(-1)$\\
Ako $f(1)=3, P(x,1): f(x)=3x$ što je stvarno rješenje, zato nadalje neka je $f(-1)=0$\\
$P(x,-1): f(x-1)=f(-x)$\\
Sad, iz $(*)$ i $(**)$ imamo 4 mogućnosti:\\
a)$f(1)=2,f(2)=6$\\
b)$f(1)=3,f(2)=6$\\
c)$f(1)=0,f(2)=0$\\
d)$f(1)=5,f(2)=0$\\
za b) slučaj $P(x,1)$ daje $f(x)=3x$, ali to ne vrijedi za $-1$, pa nema rješenja ovdje\\
za d) slučaj $P(1,-2)$ daje $25=10$ što očito ne vrijedi\\
za c) slučaj $P(x-1,1): f(x)=3f(x-1)=3f(-x)$, iz čega lagano dobijamo $f(x)=0$ što je rješenje.\\
ostao je još samo a) slučaj\\
$P(x-1,1)$ daje $f(x)=f(x-1)+2x...(1)$\\
sada, usporedbom $P(x,x)$ i $P(x+1,x-1)$ te korištenjem $(1)$ dobivamo $2f(x)=2x^2+2x$, odnosno $f(x)=x^2+x$, što je isto rješenje.\\
Sva rješenja su sada dana sa:\\
$f(x)=0$\\
$f(x)=3x$\\
$f(x)=x^2+x$\\
Provjerom se vidi da sve funkcije iznad zadovoljavaju.