Školjka

Neka $P(x,y)$ označava uvrštavanje $x$ i $y$ u početnu jednadžbu:\\ $P(0,0): f(0)^2=2f(0)$\\ Ako $f(0)=2$, $P(x,0)$ daje $f(x)=x+2$, što nije rješenje, zbog čega $f(0)=0$\\ $P(2,2): f(2)^2=6f(2)$ ($*$)\\ $P(1,1): f(2)+f(1)^2=5f(1) (**)$\\ $P(-1,1): f(1)f(-1)=f(-1)+2f(-1)=3f(-1)$\\ Ako $f(1)=3, P(x,1): f(x)=3x$ što je stvarno rješenje, zato nadalje neka je $f(-1)=0$\\ $P(x,-1): f(x-1)=f(-x)$\\ Sad, iz $(*)$ i $(**)$ imamo 4 mogućnosti:\\ a)$f(1)=2,f(2)=6$\\ b)$f(1)=3,f(2)=6$\\ c)$f(1)=0,f(2)=0$\\ d)$f(1)=5,f(2)=0$\\ za b) slučaj $P(x,1)$ daje $f(x)=3x$, ali to ne vrijedi za $-1$, pa nema rješenja ovdje\\ za d) slučaj $P(1,-2)$ daje $25=10$ što očito ne vrijedi\\ za c) slučaj $P(x-1,1): f(x)=3f(x-1)=3f(-x)$, iz čega lagano dobijamo $f(x)=0$ što je rješenje.\\ ostao je još samo a) slučaj\\ $P(x-1,1)$ daje $f(x)=f(x-1)+2x...(1)$\\ sada, usporedbom $P(x,x)$ i $P(x+1,x-1)$ te korištenjem $(1)$ dobivamo $2f(x)=2x^2+2x$, odnosno $f(x)=x^2+x$, što je isto rješenje.\\ Sva rješenja su sada dana sa:\\ $f(x)=0$\\ $f(x)=3x$\\ $f(x)=x^2+x$\\ Provjerom se vidi da sve funkcije iznad zadovoljavaju.