Pomoćna lemma:
za sve prirodne ![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
Dokaz: Iz Legendreove formule:
![\nu_2(n!)=\sum_{i=1}^{\infty} \left \lfloor{\frac{n}{2^i}}\right \rfloor < \sum_{i=1}^{\infty} \frac{n}{2^i} = n](/media/m/d/5/2/d52fe156889607570de7d1c67829b1bf.png)
Također,
kad god ![\nu_2(x) \neq \nu_2(y)](/media/m/3/8/8/3883dcd991d35f78eae18ffa3e83a446.png)
Ako je
neparan, zbog parnosti je ili
ili
. Obje mogućnosti brzo vode na kontradikciju. Od sada nadalje
je paran. Razlikujemo 5 slučajeva:
Lako je vidljivo da
Također,
, kontradikcija
![\bullet y \leq x-2](/media/m/d/a/d/dad2eef430ff13da47ad6a39e2c3f003.png)
Slično prethodnom:
, kontradikcija
![\bullet y=x-1](/media/m/a/6/5/a6576f8cc94239c2fef5728e4f4f6641.png)
Dobiva se
, no
i
su relativno prosti i veći od 1, ponovno kontradikcija
![\bullet y=x](/media/m/d/f/9/df979e03feb5a724adabf5affef61d0e.png)
ovdje
. Ako je
,
ima prostog djelitelja, a on ne može dijeliti
, kontradikcija.
daje rješenje ![(2,2)](/media/m/d/4/f/d4f09538bafe4b511101ff7e041f45c7.png)
![\bullet y=x+1](/media/m/a/0/5/a05a5eb3b4d6f6fa77fe288edd9f888c.png)
Ovdje je
. Završava se kao i prethodni slučaj, te dobivamo rješenje ![(2,3)](/media/m/2/5/9/259123c1b81bc226bb391aa499cff3aa.png)
Iscrpili smo sve slučajeve, pa su jedina rješenja
i
Pomoćna lemma: $\nu_2(x!)<x$ za sve prirodne $x$\\
Dokaz: Iz Legendreove formule:
\[ \nu_2(n!)=\sum_{i=1}^{\infty} \left \lfloor{\frac{n}{2^i}}\right \rfloor < \sum_{i=1}^{\infty} \frac{n}{2^i} = n\]
Također, $\nu_2(x+y)=\min(\nu_2(x),\nu_2(y))$ kad god $\nu_2(x) \neq \nu_2(y)$
Ako je $x$ neparan, zbog parnosti je ili $y=1$ ili $x=1$. Obje mogućnosti brzo vode na kontradikciju. Od sada nadalje $x$ je paran.
Razlikujemo 5 slučajeva:\\
$\bullet y \geq x+2$ \\
Lako je vidljivo da $\nu_2(y!)>\nu_2(x!)$ \\
Također, $\nu_2(LHS)=\nu_2(x!)<x<y \leq \nu_2(x)*y=\nu_2(x^y)=\nu_2(RHS)$, kontradikcija\\
$\bullet y \leq x-2$\\
Slično prethodnom:
$\nu_2(LHS)=\nu_2(y!)<y \leq \nu_2(x)*y=\nu_2(x^y)=\nu_2(RHS)$, kontradikcija\\
$\bullet y=x-1$\\
Dobiva se $x^{x-1}=(x-1)!(x+1)$, no $x+1$ i $x$ su relativno prosti i veći od 1, ponovno kontradikcija
$\bullet y=x$\\
ovdje $x^x=2x!$. Ako je $x>2$, $x-1$ ima prostog djelitelja, a on ne može dijeliti $x$, kontradikcija. $x=2$ daje rješenje $(2,2)$
$\bullet y=x+1$\\
Ovdje je $x^{x+1}=x!(x+2)$. Završava se kao i prethodni slučaj, te dobivamo rješenje $(2,3)$
Iscrpili smo sve slučajeve, pa su jedina rješenja $(2,2)$ i $(2,3)$