Školjka

Pomoćna lemma: $\nu_2(x!)<x$ za sve prirodne $x$\\ Dokaz: Iz Legendreove formule: \[ \nu_2(n!)=\sum_{i=1}^{\infty} \left \lfloor{\frac{n}{2^i}}\right \rfloor < \sum_{i=1}^{\infty} \frac{n}{2^i} = n\] Također, $\nu_2(x+y)=\min(\nu_2(x),\nu_2(y))$ kad god $\nu_2(x) \neq \nu_2(y)$ Ako je $x$ neparan, zbog parnosti je ili $y=1$ ili $x=1$. Obje mogućnosti brzo vode na kontradikciju. Od sada nadalje $x$ je paran. Razlikujemo 5 slučajeva:\\ $\bullet y \geq x+2$ \\ Lako je vidljivo da $\nu_2(y!)>\nu_2(x!)$ \\ Također, $\nu_2(LHS)=\nu_2(x!)<x<y \leq \nu_2(x)*y=\nu_2(x^y)=\nu_2(RHS)$, kontradikcija\\ $\bullet y \leq x-2$\\ Slično prethodnom: $\nu_2(LHS)=\nu_2(y!)<y \leq \nu_2(x)*y=\nu_2(x^y)=\nu_2(RHS)$, kontradikcija\\ $\bullet y=x-1$\\ Dobiva se $x^{x-1}=(x-1)!(x+1)$, no $x+1$ i $x$ su relativno prosti i veći od 1, ponovno kontradikcija $\bullet y=x$\\ ovdje $x^x=2x!$. Ako je $x>2$, $x-1$ ima prostog djelitelja, a on ne može dijeliti $x$, kontradikcija. $x=2$ daje rješenje $(2,2)$ $\bullet y=x+1$\\ Ovdje je $x^{x+1}=x!(x+2)$. Završava se kao i prethodni slučaj, te dobivamo rješenje $(2,3)$ Iscrpili smo sve slučajeve, pa su jedina rješenja $(2,2)$ i $(2,3)$