Bez smanjenja općenitosti neka je
. Imamo 2 mogućnosti:
![\bullet a=b](/media/m/0/d/0/0d011c82b0a67c32e7e4b9050d2d1db6.png)
Ovdje samo uzmemo
, te vrijedi ![LHS=\frac{2a(2a+1)}{2}=a(2a+1)=a*2a+a*1=RHS](/media/m/f/0/5/f058b3690a1bad7cfc2b357a9c8bec67.png)
![\bullet a>b](/media/m/0/1/e/01e4d3b283aa18cd6fb1404eb6044acd.png)
Neka je
. Raspisivanjem uvjeta dobiva se:
![\frac{z(z-1)}{2}=bz+(a-b)x](/media/m/8/9/9/89976ab12fb786851a3e46ad2e439849.png)
![\frac{z(z-1-2b)}{2}=(a-b)x](/media/m/9/f/6/9f6bd549f6d368a9c64ba5a95e185a25.png)
![z(z-1-2b)=2(a-b)x](/media/m/6/d/e/6ded428632e1b63ee974ef715c67f758.png)
Ekvivalentno,
, za neki racionalni ![k>0](/media/m/3/1/f/31f137fef97cd7a5efedd2829aeab08b.png)
Sada, ![z=2k(a-b), x=k(z-2b-1)=k(2k(a-b)-2b-1)](/media/m/7/e/a/7ea006d64b93a0e3ec403e5d4ea9a4a6.png)
Kako
, mora biti ![k>\frac{2b+1}{2a-2b}](/media/m/0/a/8/0a8dbaf520d8c54118bb0a06516698f8.png)
Isto tako,
što daje redom:
![2k(a-b)>k(2k(a-b)-2b-1)](/media/m/6/d/a/6dad6c6af792a00938ceb341d59d7429.png)
![2(a-b)>2k(a-b)-2b-1](/media/m/2/7/e/27e03c087d3a97088ed82559be42b1fe.png)
![2b+1>(2a-2b)(k-1)](/media/m/6/9/0/690c142ee6090d3049cbb648f9086164.png)
![k-1<\frac{2b+1}{2a-2b}](/media/m/d/9/b/d9bacde6844a7c823cb17f08e9b9ec3b.png)
Nakon ovih ograda izbor
je gotovo očit, stavljamo ![k=\lceil \frac{2b+1}{2a-2b} \rceil](/media/m/2/f/3/2f3cf08fbe66572c2b394afea5b463fa.png)
Kako je
neparan, a
paran,
nije prirodan broj te vrijede gore navedene ograde. Također,
je prirodan pa su
i
oba prirodni, odnosno
i
oba prirodni, te su svi uvjeti zadovoljeni
Bez smanjenja općenitosti neka je $a \geq b$. Imamo 2 mogućnosti:\\
$\bullet a=b$\\
Ovdje samo uzmemo $x=2a=2b, y=1$, te vrijedi $LHS=\frac{2a(2a+1)}{2}=a(2a+1)=a*2a+a*1=RHS$\\
$\bullet a>b$\\
Neka je $z=x+y$. Raspisivanjem uvjeta dobiva se:\\
$\frac{z(z-1)}{2}=bz+(a-b)x$\\
$\frac{z(z-1-2b)}{2}=(a-b)x$\\
$z(z-1-2b)=2(a-b)x$\\
Ekvivalentno,\\
$k=\frac{z}{2(a-b)}=\frac{x}{z-1-2b}$, za neki racionalni $k>0$\\
Sada, $z=2k(a-b), x=k(z-2b-1)=k(2k(a-b)-2b-1)$\\
Kako $x>0$, mora biti $k>\frac{2b+1}{2a-2b}$\\
Isto tako, $z>x$ što daje redom:\\
$2k(a-b)>k(2k(a-b)-2b-1)$\\
$2(a-b)>2k(a-b)-2b-1$\\
$2b+1>(2a-2b)(k-1)$\\
$k-1<\frac{2b+1}{2a-2b}$\\
Nakon ovih ograda izbor $k$ je gotovo očit, stavljamo $k=\lceil \frac{2b+1}{2a-2b} \rceil$\\
Kako je $2b+1$ neparan, a $2a-2b$ paran, $\frac{2b+1}{2a-2b}$ nije prirodan broj te vrijede gore navedene ograde.
Također, $k$ je prirodan pa su $x$ i $z$ oba prirodni, odnosno $x$ i $y$ oba prirodni, te su svi uvjeti zadovoljeni