Školjka

Bez smanjenja općenitosti neka je $a \geq b$. Imamo 2 mogućnosti:\\ $\bullet a=b$\\ Ovdje samo uzmemo $x=2a=2b, y=1$, te vrijedi $LHS=\frac{2a(2a+1)}{2}=a(2a+1)=a*2a+a*1=RHS$\\ $\bullet a>b$\\ Neka je $z=x+y$. Raspisivanjem uvjeta dobiva se:\\ $\frac{z(z-1)}{2}=bz+(a-b)x$\\ $\frac{z(z-1-2b)}{2}=(a-b)x$\\ $z(z-1-2b)=2(a-b)x$\\ Ekvivalentno,\\ $k=\frac{z}{2(a-b)}=\frac{x}{z-1-2b}$, za neki racionalni $k>0$\\ Sada, $z=2k(a-b), x=k(z-2b-1)=k(2k(a-b)-2b-1)$\\ Kako $x>0$, mora biti $k>\frac{2b+1}{2a-2b}$\\ Isto tako, $z>x$ što daje redom:\\ $2k(a-b)>k(2k(a-b)-2b-1)$\\ $2(a-b)>2k(a-b)-2b-1$\\ $2b+1>(2a-2b)(k-1)$\\ $k-1<\frac{2b+1}{2a-2b}$\\ Nakon ovih ograda izbor $k$ je gotovo očit, stavljamo $k=\lceil \frac{2b+1}{2a-2b} \rceil$\\ Kako je $2b+1$ neparan, a $2a-2b$ paran, $\frac{2b+1}{2a-2b}$ nije prirodan broj te vrijede gore navedene ograde. Također, $k$ je prirodan pa su $x$ i $z$ oba prirodni, odnosno $x$ i $y$ oba prirodni, te su svi uvjeti zadovoljeni