Točno
19. travnja 2012. 21:36 (12 godine, 3 mjeseci)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Takav skup
postoji.
Proizvoljno povežemo plave i zelene točke.
Ako nema sjecišta, gotovi smo.
Inače promatramo zbroj
duljina svih dužina skupa
. Pokazat ćemo da čim se neke dvije dužine skupa
sijeku,
se može transformirati u skup s manjim zbrojem
.
Odaberimo jedan par dužina
i
skupa
, koje se sijeku u točki
, gdje su
i
zelene točke, a
i
plave točke. Sada možemo zamijeniti te dužine dužinama
i
. Nakon toga će se ukupna duljina svih dužina skratiti, jer imamo:
što slijedi iz nejednakosti trokuta
i
.
Kako
može poprimiti samo konačno mnogo vrijednosti (postoji konačno mnogo sparivanja plavih i zelenih točaka), zaključujemo da se nakon konačno mnogo navedenih transformacija bilo koji početni skup
može dovesti u skup
u kojem više nije moguće smanjiti
transformacijom. No, to znači da
nema sjecišta.
![S](/media/m/c/6/3/c63593c3ec0773fa38c2659e08119a75.png)
Proizvoljno povežemo plave i zelene točke.
Ako nema sjecišta, gotovi smo.
Inače promatramo zbroj
![Z](/media/m/7/9/4/794ff2bd637e30ea27e50e57eecd0b76.png)
![S](/media/m/c/6/3/c63593c3ec0773fa38c2659e08119a75.png)
![S](/media/m/c/6/3/c63593c3ec0773fa38c2659e08119a75.png)
![S](/media/m/c/6/3/c63593c3ec0773fa38c2659e08119a75.png)
![Z](/media/m/7/9/4/794ff2bd637e30ea27e50e57eecd0b76.png)
Odaberimo jedan par dužina
![\overline{AC}](/media/m/d/9/5/d95354f0f833a5fda9c16a01a878c14f.png)
![\overline{BD}](/media/m/7/3/2/732e8894e57eb20026de06c47885ae55.png)
![S](/media/m/c/6/3/c63593c3ec0773fa38c2659e08119a75.png)
![T](/media/m/0/1/6/016d42c58f7f5f06bdf8af6b85141914.png)
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
![C](/media/m/5/a/b/5ab88f3f735b691e133767fe7ea0483c.png)
![D](/media/m/7/0/0/7006c4b57335ab717f8f20960577a9ef.png)
![\overline{AD}](/media/m/3/0/3/303be34ac7d7fd6c29748e4abc4ee400.png)
![\overline{BC}](/media/m/8/8/1/8818caad7d36e134c54122cbf46f1cd9.png)
![\begin{align*}
|AD| + |BC| &< |AC| + |BD| \\
&= |AT| + |TC| + |BT| + |TD| \\
&= (|AT| + |TD|) + (|BT| + |TC|)
\end{align*}](/media/m/3/b/b/3bba3e3e0d50518181577526de0304b5.png)
![ATD](/media/m/6/e/6/6e6775262c10d849e6cbeea9033f6e63.png)
![BTC](/media/m/b/1/6/b16e3471c6d866b62e916310d9c95b0f.png)
Kako
![Z](/media/m/7/9/4/794ff2bd637e30ea27e50e57eecd0b76.png)
![S](/media/m/c/6/3/c63593c3ec0773fa38c2659e08119a75.png)
![S'](/media/m/f/4/5/f457ce3c1c610a827678f4d2c4464cda.png)
![Z](/media/m/7/9/4/794ff2bd637e30ea27e50e57eecd0b76.png)
![S'](/media/m/f/4/5/f457ce3c1c610a827678f4d2c4464cda.png)