Školjka

%V0 Takav skup $S$ postoji. Proizvoljno povežemo plave i zelene točke. Ako nema sjecišta, gotovi smo. Inače promatramo zbroj $Z$ duljina svih dužina skupa $S$. Pokazat ćemo da čim se neke dvije dužine skupa $S$ sijeku, $S$ se može transformirati u skup s manjim zbrojem $Z$. Odaberimo jedan par dužina $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$ skupa $S$, koje se sijeku u točki $T$, gdje su $A$ i $B$ zelene točke, a $C$ i $D$ plave točke. Sada možemo zamijeniti te dužine dužinama $\overline{AD}$ i $\overline{BC}$. Nakon toga će se ukupna duljina svih dužina skratiti, jer imamo: $$$\begin{align*} |AD| + |BC| &< |AC| + |BD| \\ &= |AT| + |TC| + |BT| + |TD| \\ &= (|AT| + |TD|) + (|BT| + |TC|) \end{align*}$$$ što slijedi iz nejednakosti trokuta $ATD$ i $BTC$. Kako $Z$ može poprimiti samo konačno mnogo vrijednosti (postoji konačno mnogo sparivanja plavih i zelenih točaka), zaključujemo da se nakon konačno mnogo navedenih transformacija bilo koji početni skup $S$ može dovesti u skup $S'$ u kojem više nije moguće smanjiti $Z$ transformacijom. No, to znači da $S'$ nema sjecišta.