Rješenja zadatka "Školsko/gradsko natjecanje iz matematike 2015, SŠ1 A 6" korisnika "EMissoni"

Točno

28. kolovoza 2022. 22:33 (2 godine, 3 mjeseci)

Korisnik: EMissoni
Zadatak: Školsko/gradsko natjecanje iz matematike 2015, SŠ1 A 6 (Sakrij tekst zadatka)

Postoji li prirodan broj $n$ takav da je $n^2 + 2n + 2015$ kvadrat nekog prirodnog broja?

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

n^2 + 2n + 2015 = k^2 n^2 + 2n + 1 + 2014 = k^2 (n + 1)^2 + 2014 = k^2

neka je a = n + 1

a^2 + 2014 = k^2 2014 = k^2 - a^2 2014 = (k - a)(k + a)

Sada ako je (k - a)(k + a) dijeljiv sa 2 (Sto je jer je 2014 = 2 * 1007) Sad barem jedan od (k - a) i (k + a) mora biti dijeljiv sa 2

1) (k - a) je dijeljiv sa 2 2|(k - a) 2|2a

2|(k - a) + 2a 2|k + a ako 2 dijeli k - a onda 2 dijeli i k + a

2) (k + a) je dijeljiv sa 2 2|(k + a) 2|2a

2|(k + a) - 2a 2|k - a ako 2 dijeli k + a onda 2 dijeli i k - a

Znači da ako 2 dijeli (k - a)(k + a) onda nužno i 4 dijeli (k - a)(k + a), kako 4 ne dijeli 2014 ne postoji takav n.

Ocjene: (1)

Komentari:

EMissoni, 1. rujna 2022. 17:42

E hvala na komentaru, skužio sam malo kasnije da $(k-a)(k+a)$ mora biti djeljiv s $4$ na brži način samo mi se nije dalo editat lol

Zadnja promjena: EMissoni, 1. rujna 2022. 17:47

MatejVojvodic1505, 1. rujna 2022. 17:29

Rješenje je dobro samo probaj koristiti $ formula $ kod pisanja rješenja.

Npr. $n^2 + 2n + 2015 = k^2$

$n^2 + 2n + 1 + 2014 = k^2$

$(n + 1)^2 + 2014 = k^2$

Inače zaključak da $(k-a)(k+a)$ mora biti djeljiv s $4$ ako je djeljiv s $2$ si mogao puno brže i lakše obrazložiti tako da si samo promatrao da $k$ i $a$ moraju biti iste parnosti.

Školjka

Ocjene: (1)

Komentari: